TOPOLOGIA - quali coniche (quadriche) sono varietà?
il problema è il seguente: dire quali fra le coniche (risp. quadriche) degeneri o non del piano (risp. spazio) sono curve (risp. superfici) topologiche.
La mia idea è questa: tutte le coniche (risp. quadriche) immaginarie sono un sottoinsieme vuoto del piano (risp. spazio) per cui non sono varietà.
passiamo alle coniche (risp. quadriche) reali: che siano N2 e T2 è chiaro in quanto sottoinsiemi di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] (risp. [tex]\mathbb{R}^3[/tex]). Per quanto riguarda l'essere localmente euclidee: io più di verificare a mano i vari casi non saprei come muovermi.....Ho pensato di considerare solo le coniche (risp. quadriche) in forma canonica, in quanto due coniche (risp. quadriche) con la stessa forma canonica sono affinemente equivalenti e quindi topologicamente equivalenti, dato che le affinità sono omeomorfismi. Più di così non saprei! Devo veramente verificare a mano ogni caso? Trovare delle carte che ricoprono ogni conica (quadrica) etc....?
Tra l'altro non credo che la risposta sia semplice tipo "non degeneri si, degeneri no" : infatti due rette parallele sono banalmente localmente euclidee di dimensione 1, mentre due rette incidenti non lo sono (si prenda il punto di incidenza ed un aperto (nella topologia indotta) che lo contiene: se si toglie il punto di incidenza si ottengono 4 componenti connesse, mentre un qualsiasi aperto di qualsiasi spazio euclideo, se privato di un punto, può essere al massimo formato da due componenti connesse). Nelle quadriche il discorso si complica anche di più. Qualche idea "furba" ??
La mia idea è questa: tutte le coniche (risp. quadriche) immaginarie sono un sottoinsieme vuoto del piano (risp. spazio) per cui non sono varietà.
passiamo alle coniche (risp. quadriche) reali: che siano N2 e T2 è chiaro in quanto sottoinsiemi di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] (risp. [tex]\mathbb{R}^3[/tex]). Per quanto riguarda l'essere localmente euclidee: io più di verificare a mano i vari casi non saprei come muovermi.....Ho pensato di considerare solo le coniche (risp. quadriche) in forma canonica, in quanto due coniche (risp. quadriche) con la stessa forma canonica sono affinemente equivalenti e quindi topologicamente equivalenti, dato che le affinità sono omeomorfismi. Più di così non saprei! Devo veramente verificare a mano ogni caso? Trovare delle carte che ricoprono ogni conica (quadrica) etc....?
Tra l'altro non credo che la risposta sia semplice tipo "non degeneri si, degeneri no" : infatti due rette parallele sono banalmente localmente euclidee di dimensione 1, mentre due rette incidenti non lo sono (si prenda il punto di incidenza ed un aperto (nella topologia indotta) che lo contiene: se si toglie il punto di incidenza si ottengono 4 componenti connesse, mentre un qualsiasi aperto di qualsiasi spazio euclideo, se privato di un punto, può essere al massimo formato da due componenti connesse). Nelle quadriche il discorso si complica anche di più. Qualche idea "furba" ??
Risposte
C'è un teorema secondo cui le controimmagini dei valori regolari delle funzioni differenziabili hanno in modo naturale struttura di varietà. Lo conosci? In sostanza è la generalizzazione del teorema del Dini sulle funzioni implicite. Devi usare quello, secondo me.
mmm no, non lo conosco....si tratta di un esercizio nell'ambito del corso di topologia generale.
Sono giuste le mie considerazioni? Mi sembra solo strano che sia così lungo da risolvere così come ho pensato io: è un lavoraccio trovare carte adatte per ogni forma canonica di una quadrica!
Sono giuste le mie considerazioni? Mi sembra solo strano che sia così lungo da risolvere così come ho pensato io: è un lavoraccio trovare carte adatte per ogni forma canonica di una quadrica!
E allora si, non ci sono strumenti "industriali", devi fare a mano ragionando su ogni forma canonica. Beh dai in fondo non sono tante! Tieni conto che se hai un sottoinsieme del piano che è localmente grafico di una funzione regolare (ma forse anche solo continua, non sono sicuro però), quello è automaticamente una varietà. Infatti, prendiamo una funzione regolare $f : (a, b)\to RR$, il cui grafico indichiamo con $G_f$:
$G_f:={(x, y) | y=f(x)}$.
$G_f$ è una varietà topologica di dimensione uno perché puoi parametrizzarla come $x\in (a, b) \mapsto (x, f(x))$. Se questa costruzione la puoi fare localmente in ogni punto di un sottoinsieme del piano allora quello è una varietà. Naturalmente ci sono da sistemare i vari dettagli, io purtroppo non ho proprio tempo né oggi né domani. Secondo me come idea funziona, poi eventualmente ne possiamo riparlare tra qualche giorno.
$G_f:={(x, y) | y=f(x)}$.
$G_f$ è una varietà topologica di dimensione uno perché puoi parametrizzarla come $x\in (a, b) \mapsto (x, f(x))$. Se questa costruzione la puoi fare localmente in ogni punto di un sottoinsieme del piano allora quello è una varietà. Naturalmente ci sono da sistemare i vari dettagli, io purtroppo non ho proprio tempo né oggi né domani. Secondo me come idea funziona, poi eventualmente ne possiamo riparlare tra qualche giorno.
si l'idea funziona, l'ho già fatto per le coniche.....ora provo a scriverlo e lo posto. è il lavoro sulle quadriche che mi spaventa 
ora butto giù qualcosa....così magari mi dici se è giusto...
P.S. il grafico di una funzione continua è omeomorfo al suo dominio. Quindi, ad esempio, per l'ellisse , se consideriamo gli aperti di $R^2$ x<0,x>0,y<0,y>0 possiamo ricavare dall'equazione una funzione a valori reali definita su tali aperti che è continua ed ha come grafico la parte di ellisse compresa in quell'aperto. Dopo provo a scriverlo per bene!
ora butto giù qualcosa....così magari mi dici se è giusto...P.S. il grafico di una funzione continua è omeomorfo al suo dominio. Quindi, ad esempio, per l'ellisse , se consideriamo gli aperti di $R^2$ x<0,x>0,y<0,y>0 possiamo ricavare dall'equazione una funzione a valori reali definita su tali aperti che è continua ed ha come grafico la parte di ellisse compresa in quell'aperto. Dopo provo a scriverlo per bene!
CONICHE:
escludiamo tutte le coniche immaginarie, che non sono insiemi nun vuoti e quindi non possono essere varietà.
consideriamo inizialmente le coniche che non passano per l'origine: la loro equazione canonica è del tipo [tex]ax^2+by^2+c=0,c \not = 0[/tex]. I seguenti quattro insiemi:
[tex]U_1^+ =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x>0\}[/tex],
[tex]U_1^- =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x<0\}[/tex],
[tex]U_2^+ =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y<0\}[/tex],
[tex]U_2^- =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y>0\}[/tex],
sono aperti del piano, come subito si verifica< inoltre le loro intersezioni con la conica sono aperti nella topologia indotta che ricoprono la conica
supponiamo [tex]a \not = 0, b \not = 0[/tex]: allora la conica è il sottoinsieme [tex]C = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | x= \pm \sqrt{ \frac{-by^2-c}{a}}\}[/tex].
Consideriamo la funzione [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] tale che [tex]f(y)=\sqrt{ \frac{-by^2-c}{a}}\}[/tex]: si tratta di una funzione continua, per cui il grafico è omeomorfo al dominio: dato che il grafico coincide con l'insieme [tex]C \bigcap U_1^+[/tex], ne consegue che [tex]C \bigcap U_1^+[/tex] è un aperto della conica omeomorfo ad [tex]\mathbb{R}[/tex]: è possibile effettuare lo stesso lavoro per quanto riguarda gli altri tre aperti: in questo modo si ottiene un ricoprimento di [tex]C[/tex] di 4 aperti, ognuno dei quali è omeomorfo ad [tex]\mathbb{R}[/tex]: ne consegue che le coniche non degeneri sono 1-varietà ricopribili con 4 carte.
Passiamo alle coniche della forma [tex]ax^2+b=0,a \not = 0 , b \not = 0[/tex]: si tratta di due rette parallele , le quali sono banalmente localmente euclidee di dimensione 1: dunque anche questo tipo di conica è una 1- varietà
passiamo alle coniche passanti per l'origine:
due rette incidenti [tex]x^2 - y^2=0[/tex]: supponiamo che sia localmente euclidea e consideriamo un aperto del piano contenente l'origine: allora esiste un omeomorfismo tra tale aperto ed un aperto di uno spazio euclideo. Ma allora la restrizione all'aperto meno l'origine induce un omeomorfismo tra un insieme composto da almeno 4 componenti connesse, ed un aperto di uno spazio euclideo meno un punto, il quale può essere formato AL MASSIMO da due componenti connesse: ma questo è assurdo, dunque questo tipo di conica degenere non è localmente euclidea e quindi non è una varietà.
resta da considerare la parabola: [tex]y^2 - x =0[/tex]: ma la conica coincide con il grafico della funzione [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] tale che [tex]f(y)=y^2[/tex], la quale è una funzione continua: allora la conica è omeomorfa a [tex]\mathbb{R}[/tex], e quindi anche questa è una varietà
escludiamo tutte le coniche immaginarie, che non sono insiemi nun vuoti e quindi non possono essere varietà.
consideriamo inizialmente le coniche che non passano per l'origine: la loro equazione canonica è del tipo [tex]ax^2+by^2+c=0,c \not = 0[/tex]. I seguenti quattro insiemi:
[tex]U_1^+ =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x>0\}[/tex],
[tex]U_1^- =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x<0\}[/tex],
[tex]U_2^+ =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y<0\}[/tex],
[tex]U_2^- =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y>0\}[/tex],
sono aperti del piano, come subito si verifica< inoltre le loro intersezioni con la conica sono aperti nella topologia indotta che ricoprono la conica
supponiamo [tex]a \not = 0, b \not = 0[/tex]: allora la conica è il sottoinsieme [tex]C = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | x= \pm \sqrt{ \frac{-by^2-c}{a}}\}[/tex].
Consideriamo la funzione [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] tale che [tex]f(y)=\sqrt{ \frac{-by^2-c}{a}}\}[/tex]: si tratta di una funzione continua, per cui il grafico è omeomorfo al dominio: dato che il grafico coincide con l'insieme [tex]C \bigcap U_1^+[/tex], ne consegue che [tex]C \bigcap U_1^+[/tex] è un aperto della conica omeomorfo ad [tex]\mathbb{R}[/tex]: è possibile effettuare lo stesso lavoro per quanto riguarda gli altri tre aperti: in questo modo si ottiene un ricoprimento di [tex]C[/tex] di 4 aperti, ognuno dei quali è omeomorfo ad [tex]\mathbb{R}[/tex]: ne consegue che le coniche non degeneri sono 1-varietà ricopribili con 4 carte.
Passiamo alle coniche della forma [tex]ax^2+b=0,a \not = 0 , b \not = 0[/tex]: si tratta di due rette parallele , le quali sono banalmente localmente euclidee di dimensione 1: dunque anche questo tipo di conica è una 1- varietà
passiamo alle coniche passanti per l'origine:
due rette incidenti [tex]x^2 - y^2=0[/tex]: supponiamo che sia localmente euclidea e consideriamo un aperto del piano contenente l'origine: allora esiste un omeomorfismo tra tale aperto ed un aperto di uno spazio euclideo. Ma allora la restrizione all'aperto meno l'origine induce un omeomorfismo tra un insieme composto da almeno 4 componenti connesse, ed un aperto di uno spazio euclideo meno un punto, il quale può essere formato AL MASSIMO da due componenti connesse: ma questo è assurdo, dunque questo tipo di conica degenere non è localmente euclidea e quindi non è una varietà.
resta da considerare la parabola: [tex]y^2 - x =0[/tex]: ma la conica coincide con il grafico della funzione [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] tale che [tex]f(y)=y^2[/tex], la quale è una funzione continua: allora la conica è omeomorfa a [tex]\mathbb{R}[/tex], e quindi anche questa è una varietà
QUADRICHE:
escludiamo tutte le quadriche immaginarie, che non sono insiemi non vuoti e quindi non possono essere varietà.
consideriamo inizialmente le coniche che non passano per l'origine: la loro equazione canonica è del tipo [tex]ax^2+by^2+cz^2 + d=0,d \not = 0[/tex] . I seguenti sei insiemi:
[tex]U_1^+ =\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x>0\},[/tex]
[tex]U_1^- =\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x<0\},[/tex]
[tex]U_2^+ =\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | y<0\},[/tex]
[tex]U_2^- =\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | y>0\},[/tex]
[tex]U_3^+ =\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | z>0\},[/tex]
[tex]U_3^- =\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | z<0\},[/tex]
sono aperti dello spazio, come subito si verifica: inoltre le loro intersezioni con la quadrica sono aperti nella topologia indotta che ricoprono la conica
supponiamo [tex]a \not = 0, b \not = 0, c \not = 0[/tex]: allora la quadrica è il sottoinsieme[tex]Q = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x= \pm \sqrt{ \frac{-by^2-cz^2 - d}{a}}\}[/tex]:
Consideriamo la funzione[tex]f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/tex] tale che [tex]f(y,z)=\sqrt{ \frac{-by^2-cz^2 - d}{a}}\}[/tex]: si tratta di una funzione continua, per cui il grafico è omeomorfo al dominio: dato che il grafico coincide con l'insieme [tex]Q \bigcap U_1^+[/tex], ne consegue che [tex]Q \bigcap U_1^+[/tex] è un aperto della quadrica omeomorfo ad [tex]\mathbb{R}^2[/tex]: è possibile effettuare lo stesso lavoro per quanto riguarda gli altri cinque aperti: in questo modo si ottiene un ricoprimento di [tex]Q[/tex] di 6 aperti, ognuno dei quali è omeomorfo ad [tex]\mathbb{R}^2[/tex]: ne consegue che le quadriche non degeneri sono 2-varietà ricopribili con 6 carte.
I cilindri:
funzionano le stesse identiche dimostrazioni del caso delle quadriche non degeneri e dei paraboloidi. Sono superfici topologiche
passiamo alle coniche passanti per l'origine:
Per quanto riguarda i paraboloidi ([tex]x^2 \pm y^2 - z=0[/tex]) si ragiona in modo analogo al caso della parabola nelle coniche: sono entrambi varietà omeomorfe al piano.
I coni:
come nel caso delle rette incidenti, non sono varietà: infatti un eventuale omeomorfismo tra un aperto del cono contenente l'origine ed un aperto del piano induce un omeomorfismo tra l'aperto privato dell'origine (che è formato da due componenti connesse) e un'aperto del piano privato di un punto (che è sempre connesso).
I piani paralleli:
ovviamente sono superfici topologiche
I piani incidenti:
lo sto scrivendo
escludiamo tutte le quadriche immaginarie, che non sono insiemi non vuoti e quindi non possono essere varietà.
consideriamo inizialmente le coniche che non passano per l'origine: la loro equazione canonica è del tipo [tex]ax^2+by^2+cz^2 + d=0,d \not = 0[/tex] . I seguenti sei insiemi:
[tex]U_1^+ =\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x>0\},[/tex]
[tex]U_1^- =\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x<0\},[/tex]
[tex]U_2^+ =\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | y<0\},[/tex]
[tex]U_2^- =\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | y>0\},[/tex]
[tex]U_3^+ =\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | z>0\},[/tex]
[tex]U_3^- =\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | z<0\},[/tex]
sono aperti dello spazio, come subito si verifica: inoltre le loro intersezioni con la quadrica sono aperti nella topologia indotta che ricoprono la conica
supponiamo [tex]a \not = 0, b \not = 0, c \not = 0[/tex]: allora la quadrica è il sottoinsieme[tex]Q = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x= \pm \sqrt{ \frac{-by^2-cz^2 - d}{a}}\}[/tex]:
Consideriamo la funzione[tex]f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/tex] tale che [tex]f(y,z)=\sqrt{ \frac{-by^2-cz^2 - d}{a}}\}[/tex]: si tratta di una funzione continua, per cui il grafico è omeomorfo al dominio: dato che il grafico coincide con l'insieme [tex]Q \bigcap U_1^+[/tex], ne consegue che [tex]Q \bigcap U_1^+[/tex] è un aperto della quadrica omeomorfo ad [tex]\mathbb{R}^2[/tex]: è possibile effettuare lo stesso lavoro per quanto riguarda gli altri cinque aperti: in questo modo si ottiene un ricoprimento di [tex]Q[/tex] di 6 aperti, ognuno dei quali è omeomorfo ad [tex]\mathbb{R}^2[/tex]: ne consegue che le quadriche non degeneri sono 2-varietà ricopribili con 6 carte.
I cilindri:
funzionano le stesse identiche dimostrazioni del caso delle quadriche non degeneri e dei paraboloidi. Sono superfici topologiche
passiamo alle coniche passanti per l'origine:
Per quanto riguarda i paraboloidi ([tex]x^2 \pm y^2 - z=0[/tex]) si ragiona in modo analogo al caso della parabola nelle coniche: sono entrambi varietà omeomorfe al piano.
I coni:
come nel caso delle rette incidenti, non sono varietà: infatti un eventuale omeomorfismo tra un aperto del cono contenente l'origine ed un aperto del piano induce un omeomorfismo tra l'aperto privato dell'origine (che è formato da due componenti connesse) e un'aperto del piano privato di un punto (che è sempre connesso).
I piani paralleli:
ovviamente sono superfici topologiche
I piani incidenti:
lo sto scrivendo
Sulle coniche mi pare vada bene, però dovresti dimostrare il fatto che il grafico di una funzione continua è omeomorfo al dominio... ne sei sicuro? Non è una domanda retorica, davvero me lo sto chiedendo. Sicuramente se la funzione è differenziabile non ci sono problemi, comunque, quindi il tuo ragionamento funziona. Stesso discorso per le quadriche. Comunque credo che l'estensore dell'esercizio si aspetta un ragionamento più "a senso", non pretende che tu trovi esplicitamente un atlante.
beh, per quanto riguarda il fatto che il grafico di una funzione continua è omeomorfo al dominio si può ragionare in questo modo:
sia [tex]f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k[/tex] continua: allora tutte le sue componenti sono continue (perchè composizione della funzione continua con le proiezioni che sono continue). Definiamo la seguente applicazione:
[tex]\phi: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{n+k}[/tex] tale che [tex]\phi(x)=(x,f(x))=(x_1,...,x_n,f_1(x),...,f_k(x))[/tex] ; questa funzione è sicuramente continua perchè tutte le componenti sono continue (dato che [tex]f[/tex] è continua); è chiaramente iniettiva, ed è suriettiva se si considera come codominio l'immagine di [tex]f[/tex]; l'inversa è una proiezione, per cui è continua. Segue che è un omeomorfismo.
sia [tex]f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k[/tex] continua: allora tutte le sue componenti sono continue (perchè composizione della funzione continua con le proiezioni che sono continue). Definiamo la seguente applicazione:
[tex]\phi: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{n+k}[/tex] tale che [tex]\phi(x)=(x,f(x))=(x_1,...,x_n,f_1(x),...,f_k(x))[/tex] ; questa funzione è sicuramente continua perchè tutte le componenti sono continue (dato che [tex]f[/tex] è continua); è chiaramente iniettiva, ed è suriettiva se si considera come codominio l'immagine di [tex]f[/tex]; l'inversa è una proiezione, per cui è continua. Segue che è un omeomorfismo.
Sei dell' Uni. di Cagliari??...topolgia algebrica con Loi?
ciao Pierma sono Marco
Ok, va bene. Secondo me però lo devi scrivere in modo più sintetico, se fa parte di un esame. Non puoi presentare tutto questo papiro, il professore ti prenderebbe a calcioni! 
Mi pare si possa dire, almeno per le coniche: quelle non degeneri sono tutte varietà, quelle degeneri non tutte, (e qui elenchi quali non sono varietà specificando perché). Stesso discorso con le quadriche.
Questo tipo di svolgimento secondo me va bene.
Mi pare si possa dire, almeno per le coniche: quelle non degeneri sono tutte varietà, quelle degeneri non tutte, (e qui elenchi quali non sono varietà specificando perché). Stesso discorso con le quadriche. Questo tipo di svolgimento secondo me va bene.
si, ti spiego: è diviso in 3 esercizi:
1. dimostrare che ogni conica (quadrica) non degenere è una varietà topologica
2. dire quali fra quelle degeneri sono varietà
3. dividere le coniche (quadriche) in classi di equivalenza topologica
il terzo punto l'ho fatto utilizzando la connessione e la compattezza!
speriamo non lo metta al compito, sinceramente =)
1. dimostrare che ogni conica (quadrica) non degenere è una varietà topologica
2. dire quali fra quelle degeneri sono varietà
3. dividere le coniche (quadriche) in classi di equivalenza topologica
il terzo punto l'ho fatto utilizzando la connessione e la compattezza!
speriamo non lo metta al compito, sinceramente =)
no nn lo mette stai tranquillo...mette solo quelli in cui non c'e' da scrivere molto...lo ha detto anche la tutor...
Sarebbe il caso di mandare una mail ad Andrea Loi per segnarli questa discussione, che ne dici dissonance? (lo so, lo so, sono un bastardo, ma che ci volete fare? Insegno Analisi... devo essere bastardo!) 
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