Topologia prodotto è più fine di topologia cofinita?
Ciao, sono di nuovo qua... 
Dunque:
Sia $(N,T_{cof})$ lo spazio topologico sui naturali con la topologia cofinita.
Sia ora $N\timesN$ dotato anch'esso della topologia cofinita ($T'_{cof}$).
Provare che $T'_{cof}$ è strett. meno fine della topologia prodoto $T_p$ (indotta da $T_{cof}$ su $N$).
Quindi devo cercare un aperto di $T_{p}$ tale che il suo complementare sia infinito.
So che $B=\{U\timesV\ t.c. U,V\inT_{cof}\}$ è base per $T_p$. Dunque l'aperto cercato è della forma:
$H=U_1\timesV_1\cup...\cupU_n\timesV_n$
Qui mi blocco, anzi mi verrebbe da dire che non esiste, poiché se ciascuno degli $U_n\timesV_n$ ha complementare finito, a maggior ragione il complementare di quell'unione sarà finito... Aiuto!!!
Dunque:
Sia $(N,T_{cof})$ lo spazio topologico sui naturali con la topologia cofinita.
Sia ora $N\timesN$ dotato anch'esso della topologia cofinita ($T'_{cof}$).
Provare che $T'_{cof}$ è strett. meno fine della topologia prodoto $T_p$ (indotta da $T_{cof}$ su $N$).
Quindi devo cercare un aperto di $T_{p}$ tale che il suo complementare sia infinito.
So che $B=\{U\timesV\ t.c. U,V\inT_{cof}\}$ è base per $T_p$. Dunque l'aperto cercato è della forma:
$H=U_1\timesV_1\cup...\cupU_n\timesV_n$
Qui mi blocco, anzi mi verrebbe da dire che non esiste, poiché se ciascuno degli $U_n\timesV_n$ ha complementare finito, a maggior ragione il complementare di quell'unione sarà finito... Aiuto!!!
Risposte
Prova a confrontare delle basi delle topologie date!
Cosa sai dirmi su \( \{x\} \times N \) dove \(x\) è un qualsiasi punto di \(N\)?
Che sarebbe perfetto in quanto il complementare è infinito, ma vorrebbe dire che tutti i miei $U_i$ sono uguali a $\{x\}$ che però non è un aperto della cofinita su $N$.
Forse non sono gli aperti che conviene prendere in considerazione in questo caso. Ricordati che la topologia può sempre essere ripensata in termini di chiusi oppure intorni.
certo, ma il mio ragionamento rimane valido! $\{x\}$ è un chiuso, dunque...
Col mio suggerimento che riesci a fare? 
Scusa, non è che non l'ho preso in considerazione, ma non so come sia fatta una base di aperti per la top. cof. su $N\timesN$... 
Una base di aperti \(\mathcal{B}_{cofin}\) per la topologia cofinita \(\mathcal{T}_{cofin}\) su uno spazio \(S\) è composta dai complementi dei punti!
Una base di aperti \(\mathcal{B}_{prod}\) per una topologia prodotto \(\mathcal{T}_{prod}\) di finiti spazi \(S_k\) è il prodotto di basi di aperti \(\mathcal{B}_k\) di essi spazi!
Detto ciò, sapresti procedere?
Una base di aperti \(\mathcal{B}_{prod}\) per una topologia prodotto \(\mathcal{T}_{prod}\) di finiti spazi \(S_k\) è il prodotto di basi di aperti \(\mathcal{B}_k\) di essi spazi!
Detto ciò, sapresti procedere?
Lo so che \(\{x\}\) è un chiuso, anche \(\{x\} \times \mathbb N\) è in effetti un chiuso. E' la controimmagine di \(\{x\}\) rispetto alla proiezione.
EDIT: Il complementare di questo insieme appartiene alla topologia cofinita? Questo chiuso è infinito?
EDIT: Il complementare di questo insieme appartiene alla topologia cofinita? Questo chiuso è infinito?
Prova a vedere se $ N-{1} \times N - {1} $ che e' un aperto della topologia prodotto, appartiene alla top. coofinita su $N \times N$.
"j18eos":
Una base di aperti \( \mathcal{B}_{cofin} \) per la topologia cofinita \( \mathcal{T}_{cofin} \) su uno spazio \( S \) è composta dai complementi dei punti!
No, perchè se prendo (nei naturali) l'aperto $\{n\inN : n>=4\}$ non trovo alcun insieme della "base" che tu dici che ci stia dentro.
"apatriarca":
Lo so che \( \{x\} \) è un chiuso, anche \( \{x\} \times \mathbb N \) è in effetti un chiuso. E' la controimmagine di \( \{x\} \) rispetto alla proiezione.
EDIT: Il complementare di questo insieme appartiene alla topologia cofinita? Questo chiuso è infinito?
No, $\{x\}$ è un chiuso, ma $\{x\}×N$ non è ne chiuso ne aperto (difatti non è finito e il complementare non è finito) quindi non ci interessa.
"regim":
Prova a vedere se \( N-{1} \times N - {1} \) che e' un aperto della topologia prodotto, appartiene alla top. coofinita su \( N \times N \).
$N\timesN-((N-\{1\})\times(N-\{1\}))=(1,1)$ dunque $(N-\{1\})\times(N-\{1\})$ è un aperto della cofinita su $N\timesN$ e quindi non risolvo nulla.
Ma io sto parlano della topologia prodotto.. \(\{x\} \times \mathbb N \) è necessariamente un primo di questa topologia perché controimmagine di un chiuso attraverso una mappa continua (in effetti si può anche osservare che il complementare \((\mathbb N - \{x\}) \times \mathbb N\) appartiene alla base della topologia in quanto prodotto di due aperti). Il fatto che sia finito o meno in questa topologia non ha alcuna importanza. Di certo non è un chiuso della topologia cofinita ma è esattamente quello che devi dimostrare! Ma come hai definito la topologia prodotto?
I chiusi della topologia cofinita sono solo gli insiemi finiti, mentre nella topologia prodotto esistono molti altri chiusi come quello che ti ho scritto. Siccome certamente ogni chiuso della topologia cofinita appartiene alla topologia prodotto in quanto si possono facilmente attraverso intersezioni e/o unioni finite di chiusi ottenuti come complementari della base.
I chiusi della topologia cofinita sono solo gli insiemi finiti, mentre nella topologia prodotto esistono molti altri chiusi come quello che ti ho scritto. Siccome certamente ogni chiuso della topologia cofinita appartiene alla topologia prodotto in quanto si possono facilmente attraverso intersezioni e/o unioni finite di chiusi ottenuti come complementari della base.
Credo di aver capito.
$\{x\}×N$ è un chiuso della top. prodotto (posso scrivere il complementare come prodotto di aperti che sicuramente è aperto perchè sta nella base costituita dai prodotti degli aperti, banalmente).
Ma non può essere un chiuso della topologia cofinita poichè è infinito.
Analogamente, il suo complementare è un aperto della topologia prodotto appunto perchè sta nella suddetta benedetta base, ma non è un aperto della cofinita poichè ${\x\}×N$ (il complementare del complementare) non è finito, e dunque non è ne aperto ne chiuso.
Quindi, dopo aver verificato che ogni aperto della topologia cofinita è un aperto della topologia prodotto, si conclude che la topologia prodotto è più fine della cofinita.
Fila?
$\{x\}×N$ è un chiuso della top. prodotto (posso scrivere il complementare come prodotto di aperti che sicuramente è aperto perchè sta nella base costituita dai prodotti degli aperti, banalmente).
Ma non può essere un chiuso della topologia cofinita poichè è infinito.
Analogamente, il suo complementare è un aperto della topologia prodotto appunto perchè sta nella suddetta benedetta base, ma non è un aperto della cofinita poichè ${\x\}×N$ (il complementare del complementare) non è finito, e dunque non è ne aperto ne chiuso.
Quindi, dopo aver verificato che ogni aperto della topologia cofinita è un aperto della topologia prodotto, si conclude che la topologia prodotto è più fine della cofinita.
Fila?
@Mrjack Pardon, ho ragionato per sottobasi. 
"apatriarca":
$N\timesN-((N-\{1\})\times(N-\{1\}))=(1,1)$ dunque $(N-\{1\})\times(N-\{1\})$ è un aperto della cofinita su $N\timesN$ e quindi non risolvo nulla.
$(1,1)$ soltanto ? E $(1,2), (1,3),( 1,4) .... $ ?
PS
Se conosco la risposta mi limito a dare un suggerimento, perche' ritengo non serva a chi legge una dimostrazione completa, cmq la definizione di una topologia in termini di chiusi, sebbene non cambi nulla in sostanza, almeno tradizionalmente, per quanto ne so, non e' la linea per lo piu' seguita.
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