Topologia - omeomorfismi

[bestiedda2]

mi chiedevo: esistono applicazioni continue e biunivoche tra spazi topologici che non sono omeomorfismi? E tra spazi euclidei?

[dissonance]

Un esempio molto semplice è

$theta \in [0, 2pi) \mapsto e^{itheta} \in S^1$

continua, biunivoca, non è un omeomorfismo.

[maurer]

Tra spazi euclidei non lo so. Ma so dirti che (tieniti forte!) se [tex]f : \mathbb R^n \to \mathbb R^n[/tex] è una funzione continua ed iniettiva allora è una funzione aperta, da cui puoi trarre le tue conclusioni.
Si chiama teorema di invarianza del dominio (libera traduzione di Invariance of Domain). Inutile dire che è assai difficile da dimostrare!
Ne puoi trovare una versione per [tex]n = 2[/tex] sul Topology di Munkres, parte II (quella intitolata Algebraic Topology). Il capitolo non me lo ricordo, ma mi pare il nono. Comunque se ci tieni controllo.

[egregio]

Ovviamente si, basta pensare alla definizione: un omeomorfismo è una applicazione continua biunivoca la cui inversa sia continua; quindi potresti costruirne quante ne vuoi, basta che prendi una funzione continua biunivoca la cui inversa non sia continua.

[dissonance]

"biggest":basta che prendi una funzione continua biunivoca la cui inversa non sia continua.

E si, però può capitare che una applicazione siffatta non esista. Per esempio se il dominio è compatto e il codominio è di Hausdorff, una applicazione continua e bigettiva è automaticamente un omeomorfismo. Se il dominio e il codominio sono $RR^n$, come ci ricorda maurer, una applicazione continua e bigettiva è automaticamente un omeomorfismo. Insomma, non è una questione tanto banale, ci sono delle sottigliezze che vanno analizzate caso per caso.

[bestiedda2]

effettivamente, pensandoci pensavo proprio a funzioni definite su aperti connessi di uno spazio euclideo. Allora ora chiedo: una funzione continua e biunivoca da uno spazio euclideo ad un sottoinsieme di uno spazio euclideo di dimensione superiore, è un omeomorfismo? Se così fosse, allora è vero che una qualsiasi funzione biunivoca che ha come dominio un aperto connesso di uno spazio euclideo è un omeomorfismo giusto?

[maurer]

"dissonance":Per esempio se il dominio è compatto, una applicazione continua e bigettiva è automaticamente un omeomorfismo.

Non serviva anche che il codominio fosse di Hausdorff?

[maurer]

@bestiedda2: no. Prendi [tex]f : \mathbb R \to \mathbb R^2[/tex], [tex]f(x) = (x,0)[/tex]. L'immagine di [tex](0,1)[/tex] è [tex](0,1) \times \{0\}[/tex], che non è certamente un aperto di [tex]\mathbb R^2[/tex].

[dissonance]

"maurer":
Non serviva anche che il codominio fosse di Hausdorff?

Non me lo ricordo. Se lo dici tu sarà vero. Fammi pensare... come si dimostra quella affermazione? Ah si, si usa il fatto che un sottoinsieme compatto di uno spazio di Hausdorff è sempre chiuso. E quindi ci vuole che il codominio sia Hausdorff. Giusto. Correggo.

[maurer]

"bestiedda2":effettivamente, pensandoci pensavo proprio a funzioni definite su aperti connessi di uno spazio euclideo. Allora ora chiedo: una funzione continua e biunivoca da uno spazio euclideo ad un sottoinsieme di uno spazio euclideo di dimensione superiore, è un omeomorfismo? Se così fosse, allora è vero che una qualsiasi funzione biunivoca che ha come dominio un aperto connesso di uno spazio euclideo è un omeomorfismo giusto?

Non avevo letto che hai scritto sottoinsieme. Allora il mio esempio non va bene perché è un omeomorfismo sull'immagine. Probabilmente c'è un modo semplicissimo di fornirti un controesempio, ma adesso mi viene in mente solo questo.

Sia [tex]g : \mathbb R \to \mathbb R[/tex], [tex]\displaystyle g(t) = \frac{e^t}{e^t + 1} + \frac{1}{2}[/tex]. Prendi [tex]f : \mathbb R \to \mathbb C[/tex] definita da
[tex]f(t) = \begin{cases} t & \text{se } t < 0 \\ e^{2 i \pi g(t) - \frac{\pi}{2}} + 1 & \text{se } t \ge 0 \end{cases}[/tex]
L'immagine è formata dalla semiretta [tex](t,0)[/tex] per t negativo e dalla circonferenza di centro [tex](0,1) = i[/tex] e raggio 1, parametrizzata in quel modo buffo. Ora se non ho sbagliato qualche numero dovrebbe [tex]f[/tex] dovrebbe essere biunivoca e continua. Ma l'immagine ha un punto, [tex](0,0)[/tex], che possiede un intorno connesso tale che privato del punto abbia tre componenti connesse. Ma [tex]\mathbb R[/tex] non ha punti con questa proprietà e quindi i due spazi non sono omeomorfi, cioè [tex]f[/tex] è continua e biunivoca definita su uno spazio euclideo, ma non è un omeomorfismo sull'immagine.

Ripeto, c'è sicuramente un modo più facile di dirlo. Anche solo scegliendo meglio le funzioni...