Topologia, intersezione infinita di chiusi in un compatto
Buongiorno, vorrei risolvere questo esercizio ma non capisco bene il testo:
Siano $X$ uno spazio topologico compatto e ${C_n }_n$ una successione di sottoinsiemi chiusi e non vuoti di $X$ tale che si abbia $C_n \supe C_(n+1)$, per ogni $n \in NN$. Dimostrare che $nnn\ C_n != \varphi$ (intersezione per $n \in NN$ e l'ultimo è l'insieme vuoto, anche se non trovavo il simbolo
).
Quello che mi chiedo è se ci debba essere l'ipotesi che l'insieme X sia compatto. Se ragiono per assurdo dicendo che se l'intersezione fosse vuota allora dovrebbero esistere $C_i, C_k : C_i \nn C_k = \varphi$, ma posso assumere $i>k$, dunque per ipotesi $C_k \supe C_i$, dunque l'unica possibilità è che $C_i$ sia vuoto, contro l'ipotesi.
Dove sbaglio?
Mille grazie!
Siano $X$ uno spazio topologico compatto e ${C_n }_n$ una successione di sottoinsiemi chiusi e non vuoti di $X$ tale che si abbia $C_n \supe C_(n+1)$, per ogni $n \in NN$. Dimostrare che $nnn\ C_n != \varphi$ (intersezione per $n \in NN$ e l'ultimo è l'insieme vuoto, anche se non trovavo il simbolo
).Quello che mi chiedo è se ci debba essere l'ipotesi che l'insieme X sia compatto. Se ragiono per assurdo dicendo che se l'intersezione fosse vuota allora dovrebbero esistere $C_i, C_k : C_i \nn C_k = \varphi$, ma posso assumere $i>k$, dunque per ipotesi $C_k \supe C_i$, dunque l'unica possibilità è che $C_i$ sia vuoto, contro l'ipotesi.
Dove sbaglio?
Mille grazie!
Risposte
Credo che l'ipotesi di compattezza sia essenziale. Ad esempio se prendi $X=(0,1)$ con la topologia indotta dalla topologia usuale di $\mathbb{R}$ si ha che $X$ non è compatto, e se prendi i chiusi $C_n=(0,\frac{1}{2n}]$ per $n\in \mathbb{N}, n\ne 0$, hai che l'intersezione dei $C_n$ è vuota.
Che qualcuno mi illumini se ho scritto sciocchezze, grazie.
Che qualcuno mi illumini se ho scritto sciocchezze, grazie.
@Lemniscata Mi hai battuto sul tempo! 
Dopo che hai capito l'errore, ti scriverò un suggerimento!
"iDesmond":Perché?
...Se ragiono per assurdo dicendo che se l'intersezione fosse vuota allora dovrebbero esistere \(C_i, C_k : C_i \cap C_k = \emptyset\)...
Dopo che hai capito l'errore, ti scriverò un suggerimento!
@Lemniscata, è vero Grazie!
@j18eos: Forse ho capito, le intersezioni a due a due (o a tre a tre o a n a n) possono anche essere non vuote, ma il "totale" delle intersezioni sì!
ad esempio se ho i reali: $a
Vediamo.. potrei ragionare dicendo che.. per ogni $C_i$ sia $A_i$ il suo complementare che è chiaramente aperto.
Se $m>n$ allora vale che $A_n\subeA_m$ (cioè il contrario che per i chiusi)... Ora se l'unione di tutti gli aperti $A_i$ fosse tutto lo spazio $X$ si avrebbe che gli $A_i$ formano un ricoprimento aperto. E penso che non esista nessuna sottofamiglia finita che è ancora un ricoprimento... perché appunto $A_n\subeA_(n+1)$! Dunque l'unione di tutti gli $A_i$ non è $X$, dunque l'intersezione dei relativi $C_i$ non è l'insieme vuoto.
Giusto? Come posso scriverlo meglio?
Grazie!@j18eos: Forse ho capito, le intersezioni a due a due (o a tre a tre o a n a n) possono anche essere non vuote, ma il "totale" delle intersezioni sì!
ad esempio se ho i reali: $a
Vediamo.. potrei ragionare dicendo che.. per ogni $C_i$ sia $A_i$ il suo complementare che è chiaramente aperto.
Se $m>n$ allora vale che $A_n\subeA_m$ (cioè il contrario che per i chiusi)... Ora se l'unione di tutti gli aperti $A_i$ fosse tutto lo spazio $X$ si avrebbe che gli $A_i$ formano un ricoprimento aperto. E penso che non esista nessuna sottofamiglia finita che è ancora un ricoprimento... perché appunto $A_n\subeA_(n+1)$! Dunque l'unione di tutti gli $A_i$ non è $X$, dunque l'intersezione dei relativi $C_i$ non è l'insieme vuoto.
Giusto? Come posso scriverlo meglio?
Sì, hai capito però io non capisco qui
Forse devi cambiare un poco per concludere.
"iDesmond":con tutto che il procedimento è quello giusto!
...E penso che non esista nessuna sottofamiglia finita che è ancora un ricoprimento...
Forse devi cambiare un poco per concludere.
Se tale famiglia esistesse si avrebbe che $X=A_N$ (dove $A_N$ è l'ultimo insieme di tale famiglia finita), che è assurdo perchè $A_n\!=X$ per ogni $n\inNN$ (perchè i $C$ non sono vuoti).
Ecco ora è chiaro, oltre che corretto!
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