[Topologia] Insiemi convessi, chiusura e interno
Voglio mostrare che se $A\subRR^n$ è un insieme convesso allora anche la sua chiusura $\barA$ è un insieme convesso.
Prendo due punti $x,y\in\barA$, allora so che esistono due successioni $(x_j)_(j\inNN)$ e $(y_j)_(j\inNN)$ di elementi di $A$ convergenti rispettivamente a $x$ e a $y$.
Inoltre, essendo $A$ convesso, so che per ogni $j\inNN$ il segmento $[x_j,y_j]={tx_j+(1-t)y_j\inRR^n:t\in[0,1]}$ è contenuto in $A$.
Da qui come posso passare a dire che $[x,y]$ è contenuto in $\barA$?
Avevo pensato di scrivere la parametrizzazione del j-esimo segmento come $gamma_j(t)=tx_j+(1-t)y_j$ con $t\in[0,1]$ e quindi passare al limite per $j->oo$ ma non mi convince molto, avete idee migliori?
Prendo due punti $x,y\in\barA$, allora so che esistono due successioni $(x_j)_(j\inNN)$ e $(y_j)_(j\inNN)$ di elementi di $A$ convergenti rispettivamente a $x$ e a $y$.
Inoltre, essendo $A$ convesso, so che per ogni $j\inNN$ il segmento $[x_j,y_j]={tx_j+(1-t)y_j\inRR^n:t\in[0,1]}$ è contenuto in $A$.
Da qui come posso passare a dire che $[x,y]$ è contenuto in $\barA$?
Avevo pensato di scrivere la parametrizzazione del j-esimo segmento come $gamma_j(t)=tx_j+(1-t)y_j$ con $t\in[0,1]$ e quindi passare al limite per $j->oo$ ma non mi convince molto, avete idee migliori?
Risposte
Cosa non ti convince?
@Maci86 A meno che non vogliamo coinvolgere l'esame di analisi matematica 2, quel passaggio al limite della successione di funzioni \(\gamma_n\) dev'essere giustificato appieno! 
@thedarkhero A mia memoria, si risolve per assurdo!
@thedarkhero A mia memoria, si risolve per assurdo!
@j18eos concordo che vada giustificato, però una giustificazione costruttiva( almeno mi è stato detto) è sempre più utile di una per assurdo 
Quello che non mi convince e' che in questo modo sto facendo il "limite di una successione di insiemi" (cioe' i j-esimi segmenti) e non di una successione di punti...cosa intendete per "giustificare il passaggio al limite"?
"thedarkhero":Il problema è che devi dimostrare che quella successione di funzioni aventi per immagini dei segmenti di dati estremi converge a una funzione avente per immagine un segmento, di precisi estremi, e che sia contenuto nella chiusura!
..."limite di una successione di funzioni"...
@Maci86 Condivido, ma certe volte...
@j18eos ... siamo pigri 
Io lo dimostrerei chiudendo il segmento su una circonferenza, prendendo due piccioni con una fava, così i confini del segmento si avvicinano entrambi al polo nord
Io lo dimostrerei chiudendo il segmento su una circonferenza, prendendo due piccioni con una fava, così i confini del segmento si avvicinano entrambi al polo nord
Non ho capito, in che senso "chiudendolo in una circonferenza"?
Praticamente il tuo segmento è come fosse un pezzo di corda, volendo tu puoi prendere quella corda e farci una circonferenza, niente te lo vieta (questo non è vero, ma facciamo finta di sì). Ora il bello di fare un cerchio è che gli estremi del segmento vengono a coincidere, quindi se devi studiare come si comporta una successione agli estremi ( che sarebbero due punti e quindi due successioni) puoi fare un'unica successione al nuovo punto che collega i due estremi.
No, mi sto perdendo...eravamo partiti dal fatto che devo mostrare che ogni punto del segmento $[x,y]$ è limite di una successione di punti di $A$ e dunque sta nella chiusura di $A$...non mi è chiaro che ruolo gioca il fatto di chiudere il segmento in una circonferenza...
Nessuno, ti dimezza la dimostrazione, nulla che non puoi fare con un paio di righe in più
Beh ma supponendo di non usare questo "trucco" della circonferenza, come potrei mostrare che ogni punto di $[x,y]$ sta nella chiusura di $A$?
Io lo dividerei in due pezzi, così affronti un punto alla volta, per esempio:
$[x,(x+y)/2] uu[(x+y)/2, y]$
A questo punto dimostri che una combinazione convessa propria appartiene al vecchio insieme e quindi che il punto improprio appartiene alla chiusura e quindi tutto il segmento appartiene alla chiusura Dovrebbe funzionare!
$[x,(x+y)/2] uu[(x+y)/2, y]$
A questo punto dimostri che una combinazione convessa propria appartiene al vecchio insieme e quindi che il punto improprio appartiene alla chiusura e quindi tutto il segmento appartiene alla chiusura
Dovrebbe funzionare!
Ma se io più semplicemente chiamassi $gamma_j(t)=tx_j+(1-t)y_j$ la parametrizzazione del segmento $[x_j,y_j]$ (con $t\in[0,1]$) e $gamma(t)=tx+(1-t)y$ la parametrizzazione di del segmento $[x,y]$ ($t\in[0,1]$) e dicessi che $lim_(j->oo)gamma_j(t)=gamma(t)$ e dunque $gamma(t)$ appartiene alla chiusura per ogni $t\in[0,1]$ non avrei risolto?
Cos'è quella $j$ che non spieghi da nessuna parte? Io l'ho rotto in due perché così i due segmenti hanno un solo punto aggiunto, se preferisci lavorare con due basta che mostri che a variare $t$ nel chiuso invece che nell'aperto rimani nella chiusura.
@thedarkhero Si, hai risolto. Senza nessun dubbio.
Ok grazie, e il fatto che $lim_(j-_>oo)gamma_j(t)=gamma(t)$ deve essere giustificato in qualche modo o basta così?
A questo punto continuo lascio perdere quindi il fatto di chiudere i segmenti in circonferenze ecc...?
A questo punto continuo lascio perdere quindi il fatto di chiudere i segmenti in circonferenze ecc...?
Per me andrebbe bene cosi'. Ma lo sai giustificare, no? E' abbastanza standard.
Beh $lim_(j->oo)gamma_j(t)=lim_(j->oo)tx_j+(1-t)y_j=tlim_(j->oo)x_j+(1-t)lim_(j->oo)y_j=tx+(1-t)y=gamma(t)$, intendi giustificare in questo modo?
Passiamo all'altra questione cioè dimostrare che se $A$ è un insieme convesso allora anche il suo interno è convesso.
Prendo due punti $x$ e $y$ che stiano nell'interno di $A$.
Allora esiste $delta>0$ tale che la palla aperta $B(x,delta)$ di centro $x$ e raggio $delta$ sia contenuta in $A$.
Ora considero l'inviluppo convesso di $B(x,delta)uuy$ (il più piccolo insieme convesso contenente $B(x,delta)$ e $y$) e ho che questo è sicuramente contenuto in $A$.
Innanzitutto mi chiedevo...posso anche dire che è contenuto propriamente oppure no?
Prendo due punti $x$ e $y$ che stiano nell'interno di $A$.
Allora esiste $delta>0$ tale che la palla aperta $B(x,delta)$ di centro $x$ e raggio $delta$ sia contenuta in $A$.
Ora considero l'inviluppo convesso di $B(x,delta)uuy$ (il più piccolo insieme convesso contenente $B(x,delta)$ e $y$) e ho che questo è sicuramente contenuto in $A$.
Innanzitutto mi chiedevo...posso anche dire che è contenuto propriamente oppure no?
Beh, che mi dite? 
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