Topologia indotta su un sottospazio: TEORIA
Sia $(X, \tau)$ un sottospazio topologico e sia $Y \subseteq X$.
Vogliamo definire una topologia su $\tau_{y}$ indotta da $\tau$ su $Y$.
Per definire la topologia consideriamo l'immersione $i: Y \rightarrow X$ e vogliamo che questa sia continua e quindi dalla definizione deve essere: per ogni aperto di $A \in X$ la controimmagine di questo aperto $i^{-1}(A)$ è un aperto di $Y$.
E fino a qui tutto ok...
Il passaggio successivo è quello di porre $i^{-1}(A) = A \cap Y$ e questo non mi torna.. da dove deriva questo passaggio? E ancora successivamente dice che la topologia così definita è quella meno fine ... Mi potete spiegare cosa mi sfugge..
Grazie a tutti
Vogliamo definire una topologia su $\tau_{y}$ indotta da $\tau$ su $Y$.
Per definire la topologia consideriamo l'immersione $i: Y \rightarrow X$ e vogliamo che questa sia continua e quindi dalla definizione deve essere: per ogni aperto di $A \in X$ la controimmagine di questo aperto $i^{-1}(A)$ è un aperto di $Y$.
E fino a qui tutto ok...
Il passaggio successivo è quello di porre $i^{-1}(A) = A \cap Y$ e questo non mi torna.. da dove deriva questo passaggio? E ancora successivamente dice che la topologia così definita è quella meno fine ... Mi potete spiegare cosa mi sfugge..
Grazie a tutti
Risposte
...basta applicare la definizione di anti-immagine: te la ricordi?
mmh .. non molto..
Te la riscrivo:
\[
i^{-1}(A)=\{y\in Y\mid i(y)\in A\}.
\]
Pensando alla definizione dell'inclusione \(\displaystyle i\): come continueresti?
\[
i^{-1}(A)=\{y\in Y\mid i(y)\in A\}.
\]
Pensando alla definizione dell'inclusione \(\displaystyle i\): come continueresti?
Ecco, si cosi diventa l'intersezione di A con Y ... perfetto
Grazie mille... mi ero proprio persa in un bicchier d'acqua
Grazie mille... mi ero proprio persa in un bicchier d'acqua
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