Topologia indotta su un sottoinsieme
Salve!
Qualcuno mi può aiutare nella risoluzione di questo esercizio?
"Sia X= R u {∝} , ∝ è un elemento che non appartiene a R. Consideriamo la seguente famiglia T di sottoinsieme di X:
A \in T <=> A={/} oppure ∝ ∈ A.
1) Dimostrare che T è una topologia per X.
2) Dimostrare che la topologia indotta sul sottoinsieme R è la topologia discreta."
Il primo punto sono riuscita a risolverlo verificando le tre condizioni per uno spazio topologico, mentre non riesco a risolvere il punto 2. Ho pensato che forse potrei dimostrare che gli aperti in X con la topologia sopra definita sono aperti anche per R con la topologia discreta e viceversa, ma per la dimostrazione non so nemmeno da dove partire (mi mette in difficoltà la presenza del ∝). è un ragionamento corretto? E c'è un procedimento in generale che potrei seguire quando mi viene richiesto di verificare che la topologia indotta su un sottoinsieme è una topologia specifica?
Grazie in anticipo!
Qualcuno mi può aiutare nella risoluzione di questo esercizio?
"Sia X= R u {∝} , ∝ è un elemento che non appartiene a R. Consideriamo la seguente famiglia T di sottoinsieme di X:
A \in T <=> A={/} oppure ∝ ∈ A.
1) Dimostrare che T è una topologia per X.
2) Dimostrare che la topologia indotta sul sottoinsieme R è la topologia discreta."
Il primo punto sono riuscita a risolverlo verificando le tre condizioni per uno spazio topologico, mentre non riesco a risolvere il punto 2. Ho pensato che forse potrei dimostrare che gli aperti in X con la topologia sopra definita sono aperti anche per R con la topologia discreta e viceversa, ma per la dimostrazione non so nemmeno da dove partire (mi mette in difficoltà la presenza del ∝). è un ragionamento corretto? E c'è un procedimento in generale che potrei seguire quando mi viene richiesto di verificare che la topologia indotta su un sottoinsieme è una topologia specifica?
Grazie in anticipo!
Risposte
I singoletti sono tutti aperti, lo spazio mi sembra discreto anche tutto intero..
"killing_buddha":
I singoletti sono tutti aperti
Dici? Non ne sarei così sicuro...
Ah, no, ovviamente no. 
mi confondeva la scrittura poco ortodossa dell'insieme vuoto
mi confondeva la scrittura poco ortodossa dell'insieme vuoto
In effetti un po' tutta la notazione usata dall'OP è abbastanza strana, ma comunque per risolvere il punto 2 basta considerare gli aperti del tipo ${\infty,p},p\inRR$.
Comunque dovresti imparare ad usare le formule di matematicamente perché così è veramente illeggibile, e non è solo una questione estetica, ma, come hai potuto vedere, c'è chi può capire male il testo e darti una risposta sbagliata, tra l'altro non è difficile, nel tuo caso dovrebbe venire così (se ho capito bene il testo)
Sia $X=RRuu{\infty}$, $\infty$ è un elemento che non appartiene a $RR$. Consideriamo la seguente famiglia $\tau$ di sottoinsiemi di $X$: $A\in\tau<=>A=\emptyset$ oppure $\infty\inA$.
1) Dimostrare che $\tau$ è una topologia per $X$.
2) Dimostrare che la topologia indotta sul sottoinsieme $RR$ è la topologia discreta.
Fa tutto un altro effetto, non trovi?
[ot]@killing_buddha visto che ci ritroviamo a parlare di questo spazio topologico volevo chiederti una cosa: ovviamente ${infty}$ è un aperto, quindi $\infty$ è un punto isolato, ma la sua chiusura qual è? Se non sbaglio è $X$, ma non è un po' (troppo) strano che la chiusura di un punto isolato sia tutto lo spazio? In un certo senso dal punto di vista degli aperti questi punto è staccato da tutti gli altri, ma dal punto di vista dei chiusi è vicino a tutti gli altri, sbaglio qualcosa?[/ot]
Comunque dovresti imparare ad usare le formule di matematicamente perché così è veramente illeggibile, e non è solo una questione estetica, ma, come hai potuto vedere, c'è chi può capire male il testo e darti una risposta sbagliata, tra l'altro non è difficile, nel tuo caso dovrebbe venire così (se ho capito bene il testo)
Sia $X=RRuu{\infty}$, $\infty$ è un elemento che non appartiene a $RR$. Consideriamo la seguente famiglia $\tau$ di sottoinsiemi di $X$: $A\in\tau<=>A=\emptyset$ oppure $\infty\inA$.
1) Dimostrare che $\tau$ è una topologia per $X$.
2) Dimostrare che la topologia indotta sul sottoinsieme $RR$ è la topologia discreta.
Fa tutto un altro effetto, non trovi?
[ot]@killing_buddha visto che ci ritroviamo a parlare di questo spazio topologico volevo chiederti una cosa: ovviamente ${infty}$ è un aperto, quindi $\infty$ è un punto isolato, ma la sua chiusura qual è? Se non sbaglio è $X$, ma non è un po' (troppo) strano che la chiusura di un punto isolato sia tutto lo spazio? In un certo senso dal punto di vista degli aperti questi punto è staccato da tutti gli altri, ma dal punto di vista dei chiusi è vicino a tutti gli altri, sbaglio qualcosa?[/ot]
Nah, questo genere di cose sono abbastanza comuni su topologie così decentrate: prendi ad esempio \((0)\in\text{Spec}(\mathbb Z)\), anche questo è un punto denso (si chiama punto generico di uno schema affine).
Ah, ma io non so assolutamente niente di geometria algebrica.
Perché secondo te io sì?
Si.
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