Topologia indotta e insiemi chiusi
Sia X spazio topologico e S un sottoinsieme di X. Dimostrare che chiusi di S, con la topologia indotta, sono le intersezioni di S con gli insiemi chiusi di X.
Risposte
Gli aperti di quella topologia quali sono? Quale legame c'è tra aperti e chiusi?
Gli aperti di S sono i sottoinsiemi di S ottenuti come intersezione tra S ed un aperto di X.
"gianni80":
Gli aperti di S sono i sottoinsiemi di S ottenuti come intersezione tra S ed un aperto di X.
Allora trova il loro complementare in S.
Potesti farmi vedere una dimostrazione?
No, devi arrivarci da solo. Devi semplicemente usare la definizione.
Ho risolto così.
Sia H chiuso in S, allora \(\displaystyle H = S-(A \cap S) = (S-A) \cup (S-S) = S-A = (X-A) \cap S \), dove A è un aperto in X.
Sia H chiuso in S, allora \(\displaystyle H = S-(A \cap S) = (S-A) \cup (S-S) = S-A = (X-A) \cap S \), dove A è un aperto in X.
Supponendo che \(\displaystyle A \) sia un aperto di \(\displaystyle X \) si ha \(\displaystyle (X-A)\cap S = (X\cap S) - A = S-A = S - (A\cap S) \) e quindi \(\displaystyle (X-A)\cap S \) è chiuso in \(\displaystyle S \).
Supponiamo che \(\displaystyle A \) sia un aperto di \(\displaystyle S \). Esiste pertanto \(\displaystyle A' \) tale che \(\displaystyle A = (A'\cap S) \) allora \(\displaystyle S - A = S - (A'\cap S) = (S - A')\cup (S - S) = S - A' = (X\cap S) - A' = (X-A')\cap S\) e di conseguenza ogni chiuso di \(\displaystyle S \) è l'intersezione di un chiuso di \(\displaystyle X \) con \(\displaystyle S \).
Supponiamo che \(\displaystyle A \) sia un aperto di \(\displaystyle S \). Esiste pertanto \(\displaystyle A' \) tale che \(\displaystyle A = (A'\cap S) \) allora \(\displaystyle S - A = S - (A'\cap S) = (S - A')\cup (S - S) = S - A' = (X\cap S) - A' = (X-A')\cap S\) e di conseguenza ogni chiuso di \(\displaystyle S \) è l'intersezione di un chiuso di \(\displaystyle X \) con \(\displaystyle S \).
ok sono uguali in sostanza 
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