Topologia indotta dalla metrica
Salve a tutti.
faccio una premessa alle domande.
sento spesso parlare di topologia indotta dalla metrica. allora guardando a cosa si riferisce la parola topologia scopro che la topologia e' lo studio dei luoghi (nel caso specifico luoghi "matematici").
nella mia testa metrica e' sinonimo di distanza e ho anche scoperto che di distanze ne esistono di molti tipi.
sempre nella mia testa identifico la parola topologia con "forma", quindi la topologia di una retta e' diversa dalla topologia di un piano ad esempio.
ora se decido di definire un generico insieme (per elencazione o tramite una regola) non necessariamente ordinato (l'insieme) la
prima domanda che mi pongo e': ha senso parlare di distanza su tale insieme non ordinato?
seconda domanda: se la topologia (forma per me) di un insieme dipende dalla metrica vuol dire che scegliendo una metrica diversa sullo stesso insieme ottengo una diversa topologia (diversa forma)?
terza domanda: se la topologia dipende dalla metrica e' vero anche il contrario ? ossia che la metrica dipende dalla topologia?
l insieme dei numeri complessi non e' un insieme ordinato tuttavia tale insieme ha la topologia di un piano ed ogni punto (numero complesso) non puo' essere confrontato con nessun altro (perche' non c'e ordine), all interno di tale insieme pero' e' possibile definire una distanza tra due generici numeri complessi (punti del piano) quindi mi sentirei di dire che la risposta alla prima domanda sia si!
se quello scritto sopra e' vero mi nasce una quarta domanda: le proprieta' dell ordinamento valgono in "insiemi come la retta".
cerco di spiegarmi meglio. nella rappresentazione grafica di funzioni da A in A la funzione e' un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxA e quindi i punti della funzione altro non sono che numeri complessi nel piano C ad esempio quindi come detto sopra non ha senso l ordinamento dei punti stessi).
la stessa cosa avviene in funzioni dei cartesiani AxAxA e cosi' via; le funzioni se non ricordo male infatti sono relazioni di equivalenza.
la prima conseguenza che mi viene in mente e' che le relazioni d'ordine tra elementi di un insieme si perdono in insiemi del tipo A^n con n naturale maggiore stretto di 1
la seconda cosa che concludo e' che indipendentemente dal fatto che gli elementi di un generico insieme possano o meno essere ordinati e' sempre possibile definire per tali elementi una metrica (non necessariamente euclidea) che ne determina la forma
grazie in anticipio a tutti quelli che leggeranno e proveranno a chiarirmi questi concetti.
faccio una premessa alle domande.
sento spesso parlare di topologia indotta dalla metrica. allora guardando a cosa si riferisce la parola topologia scopro che la topologia e' lo studio dei luoghi (nel caso specifico luoghi "matematici").
nella mia testa metrica e' sinonimo di distanza e ho anche scoperto che di distanze ne esistono di molti tipi.
sempre nella mia testa identifico la parola topologia con "forma", quindi la topologia di una retta e' diversa dalla topologia di un piano ad esempio.
ora se decido di definire un generico insieme (per elencazione o tramite una regola) non necessariamente ordinato (l'insieme) la
prima domanda che mi pongo e': ha senso parlare di distanza su tale insieme non ordinato?
seconda domanda: se la topologia (forma per me) di un insieme dipende dalla metrica vuol dire che scegliendo una metrica diversa sullo stesso insieme ottengo una diversa topologia (diversa forma)?
terza domanda: se la topologia dipende dalla metrica e' vero anche il contrario ? ossia che la metrica dipende dalla topologia?
l insieme dei numeri complessi non e' un insieme ordinato tuttavia tale insieme ha la topologia di un piano ed ogni punto (numero complesso) non puo' essere confrontato con nessun altro (perche' non c'e ordine), all interno di tale insieme pero' e' possibile definire una distanza tra due generici numeri complessi (punti del piano) quindi mi sentirei di dire che la risposta alla prima domanda sia si!
se quello scritto sopra e' vero mi nasce una quarta domanda: le proprieta' dell ordinamento valgono in "insiemi come la retta".
cerco di spiegarmi meglio. nella rappresentazione grafica di funzioni da A in A la funzione e' un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxA e quindi i punti della funzione altro non sono che numeri complessi nel piano C ad esempio quindi come detto sopra non ha senso l ordinamento dei punti stessi).
la stessa cosa avviene in funzioni dei cartesiani AxAxA e cosi' via; le funzioni se non ricordo male infatti sono relazioni di equivalenza.
la prima conseguenza che mi viene in mente e' che le relazioni d'ordine tra elementi di un insieme si perdono in insiemi del tipo A^n con n naturale maggiore stretto di 1
la seconda cosa che concludo e' che indipendentemente dal fatto che gli elementi di un generico insieme possano o meno essere ordinati e' sempre possibile definire per tali elementi una metrica (non necessariamente euclidea) che ne determina la forma
grazie in anticipio a tutti quelli che leggeranno e proveranno a chiarirmi questi concetti.
Risposte
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare.[/xdom]
Ho l'impressione che tu non sappia cos'è un tipologia o meglio che tu non ti sia letto nessuno delle 3-4 definizioni equivalenti di tipologia. Ti suggerisco di farlo.
Domanda 1) Ordine su un insieme e metrica non hanno alcun legame.
Domanda 2) No. Topologie indotte da metriche diverse possono coincidere. Tutte le metriche più comuni sul piano o sulla retta inducono la stessa topologia.
Domanda 3) No. Più spazi metrici possono avere la stessa topologia.
Sull'ultimo discorso, ti faccio notare che esiste un concetto di distanza sulla circonferenza seppur questa non sia un insieme ordinato.
Domanda 1) Ordine su un insieme e metrica non hanno alcun legame.
Domanda 2) No. Topologie indotte da metriche diverse possono coincidere. Tutte le metriche più comuni sul piano o sulla retta inducono la stessa topologia.
Domanda 3) No. Più spazi metrici possono avere la stessa topologia.
Sull'ultimo discorso, ti faccio notare che esiste un concetto di distanza sulla circonferenza seppur questa non sia un insieme ordinato.
la tua impressione e' giusta. non so cos'e' una topologia. mi propongo di leggere a riguardo.
mi pare pero' di capire che riguardo alla mia prima domanda entrambi concordiamo per un si, se come tu affermi ordine e metrica su un insieme non hanno alcun legame a maggior ragione ha senso parlare di distanza su un insieme non ordinato.
tant e' che l esempio che tu riporti (e del quale sono a conoscenza) di un concetto di distanza sulla circonferenza ne e' un esempio.
grazie comunque delle risposte.
mi pare pero' di capire che riguardo alla mia prima domanda entrambi concordiamo per un si, se come tu affermi ordine e metrica su un insieme non hanno alcun legame a maggior ragione ha senso parlare di distanza su un insieme non ordinato.
tant e' che l esempio che tu riporti (e del quale sono a conoscenza) di un concetto di distanza sulla circonferenza ne e' un esempio.
grazie comunque delle risposte.
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