Topologia generata da una base come intersezione di topologie

[Michiko1]

Buonasera a tutti. La proposizione da dimostrare è questa: se $mathcalA$ è una base per una topologia sull'insieme $X$, allora la topologia generata da $mathcalA$ è l'intersezione di tutte le topologie su $X$ che contengono $mathcalA$.

Ho pensato di fare in questo modo: sia $tau_mathcalA$ la topologia generata da $mathcalA$, e $(tau_alpha)$ la collezione di topologie che contengono $mathcalA$. Siccome per ogni $alpha$ si ha $mathcalAsubetau_alpha$, poiché unioni e intersezioni di elementi di $mathcalA$ sono ancora in $tau_alpha$ si ha anche $tau_mathcalA sube tau_alphaforall alpha$, ovvero $tau_mathcalA sube cap_alpha tau_alpha$.

Viceversa, dal fatto che tra le possibili $tau_alpha$ è presente $tau_mathcalA$ stessa, segue $ cap_alpha tau_alpha sube tau_mathcalA$. Infatti, ogni combinazione di elementi di $mathcalA$ che sta in tutte le $tau_alpha$ è ovviamente presente in $tau_mathcalA$, e dato un insieme non ottenibile tramite unioni di elementi di $mathcalA$ è sempre possibile costruire una topologia che non lo contenga.

Vi suona convincente?

[Michiko1]

Grazie per la risposta, in effetti nella prima parte le intersezioni non c'entrano... nella seconda effettivamente basta dire che $ tau_mathcalA $ è una possibile topologia, quindi nell'intersezione vengono scartati automaticamente tutti gli insiemi che non vi apparterrebbero, da cui $ cap_alpha tau_alpha sube tau_mathcalA $.