Topologia generata da $S$
Sia $X$ un insieme e sia $SsubeP(X)$ un insieme di sottoinsiemi di $X$.
Si provi che esiste un’unica topologia su $X$ che è la meno fine tra quelle che contengono $S$.
L'ho spiegata così: consideriamo $\tau_SsubeP(X)$ che contiene $S$ e il numero minimale di sottoinsiemi di $X$ affinchè $\tau_S$ sia una topologia su $X$, per cui ogni altra topologia che contiene $S$ dovrà contenere anche $\tau_S$ per essere una topologia. L'unicità segue dalla minimalità di $\tau_S$.
Può andar bene?
Inoltre $\tau$ per essere una topologia che contiene $S$ deve contenere le unioni arbitrarie di intersezioni finite di elementi di $S$, e questo ci dice che la topologia generata da $S$ è quella data da tutte le unioni arbitrarie di tutte le intersezioni finite di elementi di $S$.
Si provi che esiste un’unica topologia su $X$ che è la meno fine tra quelle che contengono $S$.
L'ho spiegata così: consideriamo $\tau_SsubeP(X)$ che contiene $S$ e il numero minimale di sottoinsiemi di $X$ affinchè $\tau_S$ sia una topologia su $X$, per cui ogni altra topologia che contiene $S$ dovrà contenere anche $\tau_S$ per essere una topologia. L'unicità segue dalla minimalità di $\tau_S$.
Può andar bene?
Inoltre $\tau$ per essere una topologia che contiene $S$ deve contenere le unioni arbitrarie di intersezioni finite di elementi di $S$, e questo ci dice che la topologia generata da $S$ è quella data da tutte le unioni arbitrarie di tutte le intersezioni finite di elementi di $S$.
Risposte
"andreadel1988":
L'ho spiegata così: consideriamo $\tau_SsubeP(X)$ che contiene $S$ e il numero minimale di sottoinsiemi di $X$ affinché $\tau_S$ sia una topologia su $X$, per cui ogni altra topologia che contiene $S$ dovrà contenere anche $\tau_S$ per essere una topologia. L'unicità segue dalla minimalità di $\tau_S$.
Può andar bene?
No. Assumi che una tale topologia esista. Se [tex]\tau[/tex] e [tex]\tau'[/tex] sono entrambe topologie contenenti [tex]S[/tex] che hanno la proprietà di essere la meno fine tra quelle che contengono [tex]S[/tex], dimostra che devono coincidere (usando la definizione di "più fine/meno fine").
"andreadel1988":
Inoltre $\tau$ per essere una topologia che contiene $S$ deve contenere le unioni arbitrarie di intersezioni finite di elementi di $S$, e questo ci dice che la topologia generata da $S$ è quella data da tutte le unioni arbitrarie di tutte le intersezioni finite di elementi di $S$.
No. Prendi [tex]X:=\mathbb{N}[/tex] e [tex]S:=\{\{1\},\{2\}\}\subseteq\mathcal{P}(X)[/tex]. Tu affermi che la famiglia [tex]\mathcal{F}[/tex] costituita dalle unioni arbitrarie di intersezioni finite di elementi di [tex]S[/tex] è una topologia su [tex]\mathbb{N}[/tex], è vero?
"413":
No. Prendi [tex]X:=\mathbb{N}[/tex] e [tex]S:=\{\{1\},\{2\}\}\subseteq\mathcal{P}(X)[/tex]. Tu affermi che la famiglia [tex]\mathcal{F}[/tex] costituita dalle unioni arbitrarie di intersezioni finite di elementi di [tex]S[/tex] è una topologia su [tex]\mathbb{N}[/tex], è vero?
Beh come topologia ti viene ${∅,{1},{2},{1,2},NN}$ non vedo cosa ci sia di sbagliato (l'intersezione della famiglia vuota è $NN$, l’unione della famiglia vuota è $∅$)
"413":
No. Assumi che una tale topologia esista. Se [tex]\tau[/tex] e [tex]\tau'[/tex] sono entrambe topologie contenenti [tex]S[/tex] che hanno la proprietà di essere la meno fine tra quelle che contengono [tex]S[/tex], dimostra che devono coincidere (usando la definizione di "più fine/meno fine").
Ok, quindi in generale la topologia meno fine (come anche quella più fine) rispetto a qualche proprietà esistono sempre e uniche, usando la definizione di "più fine/meno fine".
Ma no, l'esistenza va dimostrata, l'esistenza di qualcosa non segue dalla sua definizione.
"Martino":
Ma no, l'esistenza va dimostrata, l'esistenza di qualcosa non segue dalla sua definizione.
Ok, allora direi di fare così, sia $X$ un insieme e sia \( \displaystyle \mathcal{F} \) un insieme di topologie su $X$. Allora \( \bigcap_{\tau\in\displaystyle \mathcal{F}}\tau \) è la topologia meno fine di \( \displaystyle \mathcal{F} \).
Ora se in questo caso indichiamo con \( \displaystyle \mathcal{F} \) l'insieme di tutte le topologie che contengono $S$ abbiamo fatto.
Sì certo.
perfetto, poi per l'unicità farei come mi ha detto @413.
"andreadel1988":
[quote="413"]
No. Prendi [tex]X:=\mathbb{N}[/tex] e [tex]S:=\{\{1\},\{2\}\}\subseteq\mathcal{P}(X)[/tex]. Tu affermi che la famiglia [tex]\mathcal{F}[/tex] costituita dalle unioni arbitrarie di intersezioni finite di elementi di [tex]S[/tex] è una topologia su [tex]\mathbb{N}[/tex], è vero?
Beh come topologia ti viene ${∅,{1},{2},{1,2},NN}$ non vedo cosa ci sia di sbagliato (l'intersezione della famiglia vuota è $NN$, l’unione della famiglia vuota è $∅$)[/quote]
Hai ragione anche tu, mi ero perso l'intersezione sulla famiglia vuota
"andreadel1988":
Ok, quindi in generale la topologia meno fine (come anche quella più fine) rispetto a qualche proprietà esistono sempre e uniche, usando la definizione di "più fine/meno fine".
No, la prima parte ti permette di dimostrare che la topologia con quelle proprietà è unica nel momento in cui esiste.
La seconda parte invece consiste nel dimostrare che esiste (o viceversa, comunque entrambe le cose vanno dimostrate).
"andreadel1988":
[quote="Martino"]Ma no, l'esistenza va dimostrata, l'esistenza di qualcosa non segue dalla sua definizione.
Ok, allora direi di fare così, sia $ X $ un insieme e sia \( \displaystyle \mathcal{F} \) un insieme di topologie su $ X $. Allora \( \bigcap_{\tau\in\displaystyle \mathcal{F}}\tau \) è la topologia meno fine di \( \displaystyle \mathcal{F} \).
Ora se in questo caso indichiamo con \( \displaystyle \mathcal{F} \) l'insieme di tutte le topologie che contengono $ S $ abbiamo fatto.[/quote]
Ok. Amesso che tu abbia dimostrato che se [tex]\{\tau_\alpha\}_{\alpha\in A}[/tex] è una famiglia di topologie su [tex]X[/tex] allora anche [tex]\bigcap_{\alpha\in A}\tau_\alpha[/tex] è una topologia su [tex]X[/tex].
Non ho capito però bene perchè l'intersezione della famiglia vuota da tutto lo spazio topologico (non ho capito neanche cosa si intende per "famiglia vuota", se una famiglia di insiemi vuoti o un insieme vuoto)
La famiglia vuota è la famiglia che non ha elementi. Per la definizione di verità vuota, intersezione su un insieme vuoto di indici è tutto.
"megas_archon":
La famiglia vuota è la famiglia che non ha elementi. Per la definizione di verità vuota, intersezione su un insieme vuoto di indici è tutto.
A ok, quindi in questo caso si f l'intersezione sulla famiglia vuoto si intende l'intersezione su un insieme vuoto di indici e quindi come se non facessi nessuna intersezione e quindi sarebbe tutto $X$
Siano [tex]X[/tex] un insieme, [tex]A[/tex] un insieme tale che per ogni [tex]\alpha\in A[/tex] sia assegnato un sottoinsieme [tex]S_\alpha\subseteq X[/tex], ovvero [tex]S=\{S_\alpha\}_{\alpha\in A}[/tex] sia una famiglia di sottoinsiemi di [tex]A[/tex] indicizzata da [tex]A[/tex], l'intersezione sulla famiglia [tex]S[/tex] è per definizione il sottoinsieme di [tex]X[/tex]
per [tex]A=\emptyset[/tex] diventa
Prendi un qualunque [tex]x\in X[/tex]: è sicuramente vero per ogni [tex]\alpha[/tex] che "se [tex]\alpha\in \emptyset[/tex] allora [tex]x\in S_\alpha[/tex]" (una implicazione il cui antecedente è falso è vera), quindi [tex]x[/tex] soddisfa la proprietà che definisce [tex]\cap_{\alpha\in\emptyset}S_\alpha[/tex], pertanto [tex]x\in\cap_{\alpha\in\emptyset}S_\alpha[/tex] per ogni [tex]x\in X[/tex], ovvero
d'altra parte
dunque
Un altro modo di vederla è il seguente: preso un qualunque [tex]x\in X[/tex], [tex]x\not\in\cap_{\alpha\in \emptyset}S_\alpha[/tex] se e solo se esiste un indice [tex]\alpha[/tex] per cui [tex]x\not\in S_\alpha[/tex], ma tale indice non esiste, quindi [tex]x\in \cap_{\alpha\in\emptyset}S_\alpha[/tex] per ogni [tex]x\in X[/tex].
Alcuni libri definiscono l'intersezione su una famiglia di sottoinsiemi solo per famiglie non vuote oppure glissano, e aggiungono alla topologia generata da una famiglia di sottoinsiemi di [tex]X[/tex] l'insieme [tex]X[/tex] a mano oppure la definiscono solo per un ricoprimento di [tex]X[/tex], per quello chiedevo...
[tex]\bigcap_{\alpha\in A} S_{\alpha}:=\Big\{x\in X\mid \forall\alpha\,(\alpha\in A\;\;\longrightarrow\;\;x\in S_{\alpha})\Big\},[/tex]
per [tex]A=\emptyset[/tex] diventa
[tex]\bigcap_{\alpha\in \emptyset} S_{\alpha}=\Big\{x\in X\mid\underbrace{\forall\alpha\,(\alpha\in\emptyset\;\;\longrightarrow\;\; x\in S_{\alpha})}_{\text{vero}}\Big\}.[/tex]
Prendi un qualunque [tex]x\in X[/tex]: è sicuramente vero per ogni [tex]\alpha[/tex] che "se [tex]\alpha\in \emptyset[/tex] allora [tex]x\in S_\alpha[/tex]" (una implicazione il cui antecedente è falso è vera), quindi [tex]x[/tex] soddisfa la proprietà che definisce [tex]\cap_{\alpha\in\emptyset}S_\alpha[/tex], pertanto [tex]x\in\cap_{\alpha\in\emptyset}S_\alpha[/tex] per ogni [tex]x\in X[/tex], ovvero
[tex]\bigcap_{\alpha\in \emptyset}S_\alpha\supseteq X,[/tex]
d'altra parte
[tex]\bigcap_{\alpha\in \emptyset}S_\alpha\subseteq X,[/tex]
dunque
[tex]\bigcap_{\alpha\in \emptyset}S_\alpha= X.[/tex]
Un altro modo di vederla è il seguente: preso un qualunque [tex]x\in X[/tex], [tex]x\not\in\cap_{\alpha\in \emptyset}S_\alpha[/tex] se e solo se esiste un indice [tex]\alpha[/tex] per cui [tex]x\not\in S_\alpha[/tex], ma tale indice non esiste, quindi [tex]x\in \cap_{\alpha\in\emptyset}S_\alpha[/tex] per ogni [tex]x\in X[/tex].
Alcuni libri definiscono l'intersezione su una famiglia di sottoinsiemi solo per famiglie non vuote oppure glissano, e aggiungono alla topologia generata da una famiglia di sottoinsiemi di [tex]X[/tex] l'insieme [tex]X[/tex] a mano oppure la definiscono solo per un ricoprimento di [tex]X[/tex], per quello chiedevo...
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