Topologia - generalizzazione continuità di F: X x Y -> Z
Mi sono chiesto questa generalizzazione guardando la continuità della seguente omotopia:
"Dato $Y$ spazio topologico stellato rispetto a $y_0$, allora qualsiasi applicazione continua $f:X ->Y$ è omotopa alla costante $y_0$ tramite $H: X x I -> Y$ t.c. $H(x,t)=f(x)(1-t) + ty_0$"
Mi si chiede di verificarne la continuità... allora mi sono posto la domanda se potessi generalizzare la continuità di un'applicazione $f: A x B -> C$ con $A,B,C$ spazi topologici e $A x B$ dotato della topologia prodotto... per un'applicazione che va $C$ a $A x B$ ho la proprietà universale, viceversa mi hanno consigliato di controllare le singole componenti.
Ad esempio nell'omotopia, mi hanno detto che siccome $F(x,t)=f_t(x)$ per ogni $(x,t) in X x [0,1]$, basta verificare che $f_t$ è continua per ogni $t$. Quindi mi sembra di "chiudere" il diagramma con una famiglia di funzioni $f_t: X -> Y$ e ripercorrere la proprietà universale alla rovescia ($F$ continua se e solo le $f_t$ sono continue).
Però questo procedimento mi lascia perplesso... per le omotopie basta controllare la continuità delle $f_t$? In generale invece basta controllare la continuità dell'"intera" $f$ osservandola induttivamente per una "componente" fissando le restanti?
"Dato $Y$ spazio topologico stellato rispetto a $y_0$, allora qualsiasi applicazione continua $f:X ->Y$ è omotopa alla costante $y_0$ tramite $H: X x I -> Y$ t.c. $H(x,t)=f(x)(1-t) + ty_0$"
Mi si chiede di verificarne la continuità... allora mi sono posto la domanda se potessi generalizzare la continuità di un'applicazione $f: A x B -> C$ con $A,B,C$ spazi topologici e $A x B$ dotato della topologia prodotto... per un'applicazione che va $C$ a $A x B$ ho la proprietà universale, viceversa mi hanno consigliato di controllare le singole componenti.
Ad esempio nell'omotopia, mi hanno detto che siccome $F(x,t)=f_t(x)$ per ogni $(x,t) in X x [0,1]$, basta verificare che $f_t$ è continua per ogni $t$. Quindi mi sembra di "chiudere" il diagramma con una famiglia di funzioni $f_t: X -> Y$ e ripercorrere la proprietà universale alla rovescia ($F$ continua se e solo le $f_t$ sono continue).
Però questo procedimento mi lascia perplesso... per le omotopie basta controllare la continuità delle $f_t$? In generale invece basta controllare la continuità dell'"intera" $f$ osservandola induttivamente per una "componente" fissando le restanti?
Risposte
"nuwanda":Questa è solo una verifica parziale, nel senso che puoi verificare una condizione necessaria ma non sufficiente per la continuità!
...viceversa mi hanno consigliato di controllare le singole componenti...
L'esempio classico è la funzione[nota]La topologia è quella euclidea... preferisco essere pedante![/nota]:
\[
f:(x;y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0;0)\}\to\frac{xy}{x^2+y^2}\in\mathbb{R}
\]
che è continua nel dominio; ed è separatamente continua nella \(\displaystyle x\) e nella \(\displaystyle y\) nel punto \(\displaystyle(0;0)\), ma ivi non è prolungabile per continuità!
Ok come controesempio mi piace... in analisi la vedo bene: basta prendere un punto arbitrariamente vicino all'origine e vedere che assume valore nullo sugli assi cartesiani e vale $1/2$ sulla bisettrice... ma topologicamente? come lo prendo un aperto che non è controimmagine di aperto?
Per l'omotopia invece la verifica delle componenti è pure sufficiente?
Per l'omotopia invece la verifica delle componenti è pure sufficiente?
Mi permetto di bloccare un attimo l'attenzione di questo thread su quanto ti ho fatto notare!
Modificando la precedente funzione \(\displaystyle f\) in:
\[
\overline{f}(x;y)=\begin{cases}
\frac{xy}{x^2+y^2}\iff(x;y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0;0)\}\\
0\iff(x;y)=(0;0)
\end{cases}
\]
riesci a dimostrare in maniera puramente topologica la separata continuità ma non la continuità di \(\displaystyle\overline{f}\) in \(\displaystyle(0;0)\)?
Modificando la precedente funzione \(\displaystyle f\) in:
\[
\overline{f}(x;y)=\begin{cases}
\frac{xy}{x^2+y^2}\iff(x;y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0;0)\}\\
0\iff(x;y)=(0;0)
\end{cases}
\]
riesci a dimostrare in maniera puramente topologica la separata continuità ma non la continuità di \(\displaystyle\overline{f}\) in \(\displaystyle(0;0)\)?
Nella topologia prodotto riesco a usare la proposizione: "Un'applicazione $f$ è continua in un punto $x_0$ se per ogni intorno $V$ di $f(x_0)$ esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $f(U) sub V$." Allora mi metto nell'origine $(0,0)$ e prendo un intorno di $f((0,0))=0$ ovvero un intervallino $(-delta,delta)$ con $delta>0$. Ma in ogni intorno dell'origine del piano, esiste sempre un punto $(x_1,y_1)$ tali che $x_1=y_1$ e dunque $f((x_1,y_1))=1/2$. A questo punto se prendo $delta$ abbastanza piccolo (sono fortunato, mi basta minore di $1/2$) riesco a dire che non è continua in $(0,0)$. Detto ciò, non riesco però a dimostrarlo con la definizione di aperti (cioè non riesco a trovare un aperto di $RR$ che abbia controimmagine non aperta).
Nelle topologie separate (lo faccio con $x in RR$, tanto il problema è simmetrico): se fisso $y=0$, ho vinto a mani basse: se $x != 0$ $f$ vale costantemente zero, altrimenti vale comunque $0$ per la definizione di $f((0,0))=0$. Dunque ho $f$ costante su tutto $RR$ che è continua (questo è vero per ogni topologia che posso definire sullo spazio di arrivo e sullo spazio di partenza, giusto?).
Se $y != 0$ allora la tratto come costante... però riesco a concludere solo con l'analisi (cioè il denominatore non si annulla mai...) ma per via topologica non riesco a districarmi
Nelle topologie separate (lo faccio con $x in RR$, tanto il problema è simmetrico): se fisso $y=0$, ho vinto a mani basse: se $x != 0$ $f$ vale costantemente zero, altrimenti vale comunque $0$ per la definizione di $f((0,0))=0$. Dunque ho $f$ costante su tutto $RR$ che è continua (questo è vero per ogni topologia che posso definire sullo spazio di arrivo e sullo spazio di partenza, giusto?).
Se $y != 0$ allora la tratto come costante... però riesco a concludere solo con l'analisi (cioè il denominatore non si annulla mai...) ma per via topologica non riesco a districarmi
In generale devi fissare la \(\displaystyle x\) o la \(\displaystyle y\) e vedere che succede.
Direi che possiamo tornare al problema iniziale... l'omotopìa è definibile come una famiglia continua di funzioni continue; banalmente quella funzione \(\displaystyle H\) è continua separatamente nelle sue variabili: giusto?
"nuwanda":Ti basta ricordare che le funzioni polinomiali sono continue (tra quelle topologie) e che il rapporto di funzioni continue è una funzione continua!
...ma per via topologica non riesco a districarmi
Direi che possiamo tornare al problema iniziale... l'omotopìa è definibile come una famiglia continua di funzioni continue; banalmente quella funzione \(\displaystyle H\) è continua separatamente nelle sue variabili: giusto?
Non tanto non capisco perchè la continuità delle $f_t$ implichi la continuità di $H$, o per lo meno che "stavolta" si possa controllare separatamente nelle sue variabili 
non capisco perchè la continuità delle $f_t$ implichi la continuità di $H$, o per lo meno che "stavolta" si possa controllare separatamente nelle sue variabili
Ho affermato che \(\displaystyle H\) è separatamente continua!
Per dimostrare la continuità: io ragionerei per anti-immagini... tu ci riesci?
Per dimostrare la continuità: io ragionerei per anti-immagini... tu ci riesci?
Quindi stai affermando che la continuita' di $H$ non deriva solamente dalla continuita' delle $f_t$? (scusa se ti faccio la solita domanda, ma voglio una conferma sicura )
Ragionando sulle controimmagini non saprei come fare...
)Ragionando sulle controimmagini non saprei come fare...
"nuwanda":Esatto!
Quindi stai affermando che la continuita' di $H$ non deriva solamente dalla continuita' delle $f_t$? (scusa se ti faccio la solita domanda, ma voglio una conferma sicura
Procediamo passo per passo allora: [list=1]
[*:2gkezqnh] innanzi tutto, volendo dimostrare la continuità di \(\displaystyle H\), devi determinare la topologia dello spazio immagine \(\displaystyle H(X\times I)\);[/*:m:2gkezqnh]
[*:2gkezqnh] devi determinare una base (topologica) di tale spazio;[/*:m:2gkezqnh]
[*:2gkezqnh] calcola le anti-immagini degli insiemi aperti di tale base.[/*:m:2gkezqnh][/list:o:2gkezqnh]
Ci riesci?
1) Essendo $H(X x I)$ un sottospazio di $Y$, eredita la topologia di sottospazio dalla topologia di $Y$. Dunque $A sub H(X x I)$ e' aperto se $EE$ $B sub Y$ aperto tale che $B nn H(X x I) =A$. Non ho una topologia precisa su cui lavorare, avendo la sola informazione che $Y$ e' stellato (ad occhio mi sembra che questa proprieta' non sia una conseguenza di una topologia particolare... infatti credo che possa essere benissimo un insieme discreto oppure essere dotato della topologia banale);
2) Non avendo informazioni sulla topologia di $H(X x I)$, l'unica cosa che posso fare e' prendere una base di $Y$ e costruirci una base indotta per il sottospazio;
probabilmente non ho fatto un buon lavoro perche' non ho dei buoni aperti su cui lavorare per il punto 3... quindi come andavano svolti 1) e 2) ??
2) Non avendo informazioni sulla topologia di $H(X x I)$, l'unica cosa che posso fare e' prendere una base di $Y$ e costruirci una base indotta per il sottospazio;
probabilmente non ho fatto un buon lavoro perche' non ho dei buoni aperti su cui lavorare per il punto 3... quindi come andavano svolti 1) e 2) ??
Tutto corretto, ti manca solo notare che \(\displaystyle x_0\in H(X\times I)\); utilizza l'ipotesi su \(\displaystyle Y\) e cosa puoi sicuramente affermare per tale sottospazio?
Come utilizzi questa informazione?
Come utilizzi questa informazione?
Be' sicuramente so che $y_0 in H(X x I) -> H(X x I)$ e' stellato rispetto a $y_0$...ma questo non so che in modo mi possa aiutare... intuitivamente posso dire che se prendo un aperto $A sub H(X x I)$ tale che $y_0 in A$, allora $H^(-1)(A)$ e' un insieme del tipo $B x C sub X x I$, con $B$ sottospazio di $X$ (probabilmente aperto ma non so come dirlo) e con $C$ sottospazio aperto $(t,1] in I$. Altrimenti, se $y_0 !in A$ il sottospazio $C$ e' $(t_1,t_2) in I$. Non riesco a formalizzare pero'
Devo dire che mi sono perso un pò anch'io...
Il lavorare con gli aperti di una base topologica per \(\displaystyle H(X\times I)\) non giova a nulla.
Ho cambiato ragionamento: sia \(\displaystyle A\subseteq H(X\times I)\); per definizione chi è \(\displaystyle H^{-1}(A)\)?
Il tuo scopo è dimostrare che ogni punto di tale insieme è interno.
Ricordati che abbiamo già dimostrata la separata continuità di \(\displaystyle H\), quindi puoi immaginare su di \(\displaystyle A\) una trama di cammini: quali? Perché sfrutti la separata continuità?
Il lavorare con gli aperti di una base topologica per \(\displaystyle H(X\times I)\) non giova a nulla.
Ho cambiato ragionamento: sia \(\displaystyle A\subseteq H(X\times I)\); per definizione chi è \(\displaystyle H^{-1}(A)\)?
Il tuo scopo è dimostrare che ogni punto di tale insieme è interno.
Ricordati che abbiamo già dimostrata la separata continuità di \(\displaystyle H\), quindi puoi immaginare su di \(\displaystyle A\) una trama di cammini: quali? Perché sfrutti la separata continuità?
Se non sbaglio, posso usare questo ragionamento per ogni omotopia che devo controllare: se prendo un aperto in $A$, banalmente se non incontro nessun cammino, la sua controimmagine è aperta. Se invece ci sono i cammini, posso usare la continuità di ogni singola $f_t$. E' un ragionamento un pò macchinoso, non so se ne esite uno più pulito: preso $A sub Y$, mi chiedo cosa è $H^(-1)(A)$. Ma io posso vedere $H^(-1)(A)=uu_(t in I)H^(-1)(Annf_t(X))$. Adesso calcolare $H^(-1)(Annf_t)$ è come calcolare $H^(-1)(A)$ in un singolo $f_t$... visto che è continua, allora l'unione $uu_(t in I)H^(-1)(Annf_t(X))$ è un'unione arbitraria di aperti, quindi aperta. Va bene così?
Sì, ti resta da giustificare perché \(\displaystyle A\cap f_t(X)\) è aperto!
Poi hai concluso.
Poi hai concluso.
secondo me a priori gli $A nn f_t$ non aperti. Ad esempio se costruisco un'omotopia tra due costanti, le $f_t$ sono tutte punti. Dunque se lo spazio è $T1$, allora se $f_t(X) in A$ quell'intersezione è chiusa. L'importante è che $H^(-1)(A nn f_t)$ sia aperto... giusto?
"nuwanda":
Se non sbaglio, posso usare questo ragionamento per ogni omotopia che devo controllare: se prendo un aperto in $ A $, banalmente se non incontro nessun cammino, la sua controimmagine è aperta. Se invece ci sono i cammini, posso usare la continuità di ogni singola $ f_t $. E' un ragionamento un pò macchinoso, non so se ne esite uno più pulito: preso $ A sub Y $, mi chiedo cosa è $ H^(-1)(A) $. Ma io posso vedere $ H^(-1)(A)=uu_(t in I)H^(-1)(Annf_t(X)) $. Adesso calcolare $ H^(-1)(Annf_t) $ è come calcolare $ H^(-1)(A) $ in un singolo $ f_t $... visto che è continua, allora l'unione $ uu_(t in I)H^(-1)(Annf_t(X)) $ è un'unione arbitraria di aperti, quindi aperta. Va bene così?
Per quanto visto qui, visto che non invento nulla su $H$, la continuità dell'omotopia dipende esclusivamente dalle $f_t$?
"nuwanda":NO, assolutamente!
...L'importante è che $ H^(-1)(A nn f_t) $ sia aperto... giusto?
Ricorda chi è \(\displaystyle f_t(X)\)!
$f_t$ è l'immagine di $X$ tramite la funzione $f_t$, e dunque sono delle copie di $f(x)$ "manipolate con continuità" (ovvero senza "strappare"). In realtà se dico che $H^(-1)(Annf_t(X)) AA t in I$ è aperto, ho unione arbitraria di aperti che è aperta ed avrei finito... non capisco cosa comporti $Annf_t(X)$ aperto
Ho provato ad allungare l'uguaglianza, ma non so se è una cosa positiva:
$H^(-1)(A)=uu_(t in I)H^(-1)(Annf_t(X))=uu_(t in I)f_t^(-1)(Annf_t(X))x{t}$
Ho provato ad allungare l'uguaglianza, ma non so se è una cosa positiva:
$H^(-1)(A)=uu_(t in I)H^(-1)(Annf_t(X))=uu_(t in I)f_t^(-1)(Annf_t(X))x{t}$
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