[Topologia] Funzioni continue preservano relazione di aderenza
All'interno del corso di Geometria 1 alla Sapienza di Roma stiamo iniziando a trattare le basi della topologia generale. Poiché la materia mi appassiona ed ho a disposizione il libro di testo di Marco Manetti, "Topologia" Ed. Springer, ho cominciato a studiare qualcosa per mio conto, svolgendo passo passo gli esercizi proposti dal libro.
Mi sono però impantanato su questo che segue: (3.17, pag. 46)
Due sottoinsieme di $A,B$ di uno spazio topologico si dicono aderenti se
\begin{equation} (A\cap cl(B))\cup(cl(A)\cap B)\neq \emptyset \end{equation}
Dimostrare che un'applicazione è continua se e solo se preserva la relazione di aderenza tra sottoinsiemi.
Non ho avuto problemi a mostrare che la continuità implica la preservazione della relazione. Ho alcune difficoltà invece con il viceversa.
Qualcuno può aiutarmi?
Mi sono però impantanato su questo che segue: (3.17, pag. 46)
Due sottoinsieme di $A,B$ di uno spazio topologico si dicono aderenti se
\begin{equation} (A\cap cl(B))\cup(cl(A)\cap B)\neq \emptyset \end{equation}
Dimostrare che un'applicazione è continua se e solo se preserva la relazione di aderenza tra sottoinsiemi.
Non ho avuto problemi a mostrare che la continuità implica la preservazione della relazione. Ho alcune difficoltà invece con il viceversa.
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Mi butto con un tentativo: considera una funzione che preservi la relazione di aderenza tra insiemi e supponi che non sia continua; allora utilizzando la caratterizzazione "\(\displaystyle f:X\to Y\) continua sse \(\displaystyle\forall Z\subseteq X,\,f\left(\overline{Z}\right)\subseteq\overline{f(Z)}\)" dovresti ottenere un assurdo!