Topologia euclidea e intervalli chiusi
Salve a tutti, ho un'altro dubbio che sembra essere fondamentale, riguardo la topologia.
Dunque, topologia euclidea in $RR$.
Come sappiamo gli aperti, in tale topologia, sono tutti i possibili intervalli aperti $(a,b)$ con $a,b \inRR$
Infatti sono unione della famiglia delle basi, che è data, e che è asua volta formata da tutti i possibili intervalli di quel tipo.
Il fatto è questo: un intervallo del tipo $[x,y]$, perché non è aperto?
Infatti, noto questa cosa: sono rispettate le tre condizioni per la topologia:
1) L'intersezione tra due intervalli $[x_1,y_1]$ e $[x_2,y_2]$ è ovviamente, se non vuota, un'altro intervallo $[x_2,y_1]$
2)L'unione tra vari intervalli $[x_k,y_k]$ è ancora un intervallo con gli estremi inclusi.
3)Vuoto appartiene alla topologia. La retta $RR$ anche, giacchè posso vederla in questo modo: $[x-n,x+n]$
con $n\inNN$
Non mi spiego questa incongruenza: se penso la topologia come indotta dalla base formata dagli intervalli $(a,b)$, allora mi torna che gli aperti sono con gli estremi esclusi, visto che non posso formare un intervallo con gli estremi inclusi mediante unione di intervalli con estremi esclusi (è vero?).
Ma se penso la topologia seguendo semplicemente la definizione e le tre proprietà, allora ottengo un'altra cosa.
Questa è una cosa venuta in mente ad un collega, e che effettivamente mi ha scosso.
Grazie a chi vorrà chiarirmi questo dubbio, a presto.
Buona domenica!
Dunque, topologia euclidea in $RR$.
Come sappiamo gli aperti, in tale topologia, sono tutti i possibili intervalli aperti $(a,b)$ con $a,b \inRR$
Infatti sono unione della famiglia delle basi, che è data, e che è asua volta formata da tutti i possibili intervalli di quel tipo.
Il fatto è questo: un intervallo del tipo $[x,y]$, perché non è aperto?
Infatti, noto questa cosa: sono rispettate le tre condizioni per la topologia:
1) L'intersezione tra due intervalli $[x_1,y_1]$ e $[x_2,y_2]$ è ovviamente, se non vuota, un'altro intervallo $[x_2,y_1]$
2)L'unione tra vari intervalli $[x_k,y_k]$ è ancora un intervallo con gli estremi inclusi.
3)Vuoto appartiene alla topologia. La retta $RR$ anche, giacchè posso vederla in questo modo: $[x-n,x+n]$
con $n\inNN$
Non mi spiego questa incongruenza: se penso la topologia come indotta dalla base formata dagli intervalli $(a,b)$, allora mi torna che gli aperti sono con gli estremi esclusi, visto che non posso formare un intervallo con gli estremi inclusi mediante unione di intervalli con estremi esclusi (è vero?).
Ma se penso la topologia seguendo semplicemente la definizione e le tre proprietà, allora ottengo un'altra cosa.
Questa è una cosa venuta in mente ad un collega, e che effettivamente mi ha scosso.
Grazie a chi vorrà chiarirmi questo dubbio, a presto.
Buona domenica!
Risposte
Il problema è tutto nella seconda ondizione in quanto l'intersezione di infiniti chiusi (e una quantità arbitraria può essere anche infinita) può non essere chiusa.
Chiaramente avevo pensato unione, ma ho scritto intersezione.
Per fortuna ci sono persone più precise di me in giro.
Chiaramente avevo pensato unione, ma ho scritto intersezione.
Per fortuna ci sono persone più precise di me in giro.
"@melia":
Il problema è tutto nella seconda ondizione in quanto l'intersezione di infiniti chiusi (e una quantità arbitraria può essere anche infinita) può non essere chiusa.
L'interserzione anche infinita di chiusi deve essere un chiuso, si vede utilizzando le leggi di De Morgan sugli assiomi che definiscono una topologia. Al contrario l'unione infinita di chiusi può non essere chiusa, ad esempio $(0,1) = \uuu_{x \in (0,1)}{x}$.
Volendo si può dare la definizione di topologia facendo riferimenti ai chiusi, ricordando però che in questo caso l'unione finita di chiusi deve essere un chiuso e l'intersezione anche infinita di chiusi deve essere un chiuso.
Edit: In particolare volendo fare riferimento agli intervalli chiusi $[a,b]$ hai che $[0,1) = \uuu_{n \in \NN}[0,1-1/n]$, poichè non esiste $n \in \NN$ tale che $1 \in [0,1-1/n]$.
Comunque non e' vero che gli aperti sono solo intervalli -- gia' l'unione di due intervalli non e' un intervallo.
Nella sostanza poi (come gia' osservato) il problema e' che l'unione di (un numero arbitrario di) aperti che deve essere aperto, e
cio' non e' vero se si parte dagli intervalli chiusi
P.S. Rileggendo la domanda e un post precedente mi viene il dubbio che cio' che Steven si domandava in realta' fosse se la famiglia degli intervalli chiusi non sia per caso una base.
?????
Se questo era il problema direi che si', gli intervalli chiusi costituiscono una base, ma per una topologia diversa da quella euclidea ( i punti sono aperti, dunque la topologia discreta).
Se non ho preso un abbaglio....
Nella sostanza poi (come gia' osservato) il problema e' che l'unione di (un numero arbitrario di) aperti che deve essere aperto, e
cio' non e' vero se si parte dagli intervalli chiusi
P.S. Rileggendo la domanda e un post precedente mi viene il dubbio che cio' che Steven si domandava in realta' fosse se la famiglia degli intervalli chiusi non sia per caso una base.
?????
Se questo era il problema direi che si', gli intervalli chiusi costituiscono una base, ma per una topologia diversa da quella euclidea ( i punti sono aperti, dunque la topologia discreta).
Se non ho preso un abbaglio....
@Steven: V.G.E. ha ragione, stai facendo un po' di confusione tra "base di una topologia" e "topologia". Infatti a voler essere puntigliosi, le tre condizioni che tu hai scritto non sono rispettate, come già ti hanno fatto notare. E per voler fare un altro esempio super-classico: $\bigcup_{n\inNN}[-1+1/n, 1-1/n]=(-1, 1)$, che non è un intervallo chiuso.
E' chiaro che volevi dire: la famiglia degli intervalli chiusi costituisce una base per una topologia, e siamo d'accordo. Anzi, su $RR$ possiamo costruire varie topologie a seconda di quali tipi di intervalli scegliamo come base:
con ${(a,b)\ |\ a,b\inRR}$ costruiamo la topologia euclidea;
con ${[a, b)\ |\ a,b\inRR}$ e ${(a, b]\ |\ a,b\inRR}$ costruiamo delle topologie strettamente più fini di quella euclidea;
con ${[a, b]\ |\a,b\inRR}$ costruiamo una topologia ancora più fine, anche troppo dal momento che si tratta della topologia discreta.
Spero che questo post serva a qualcosa! Sono cose note, probabilmente già le conosci.
P.S.: Rileggendo mi sta venendo il dubbio che la domanda fosse un'altra. Forse volevi sapere perché un intervallo $[x,y]$ non è aperto in topologia euclidea? In questo caso la risposta è semplice: non è aperto perché non è unione di elementi di una base della topologia euclidea, tipicamente la famiglia ${(a, b)}$ di cui sopra. Infatti se fosse $[x, y]=\bigcup_{alpha}(a_alpha, b_alpha)$, necessariamente $x$ e $y$ dovrebbero appartenere ad un intervallo $(a_alpha, b_alpha)$. Ma questo comporta che $a_alpha
E' chiaro che volevi dire: la famiglia degli intervalli chiusi costituisce una base per una topologia, e siamo d'accordo. Anzi, su $RR$ possiamo costruire varie topologie a seconda di quali tipi di intervalli scegliamo come base:
con ${(a,b)\ |\ a,b\inRR}$ costruiamo la topologia euclidea;
con ${[a, b)\ |\ a,b\inRR}$ e ${(a, b]\ |\ a,b\inRR}$ costruiamo delle topologie strettamente più fini di quella euclidea;
con ${[a, b]\ |\a,b\inRR}$ costruiamo una topologia ancora più fine, anche troppo dal momento che si tratta della topologia discreta.
Spero che questo post serva a qualcosa! Sono cose note, probabilmente già le conosci.
P.S.: Rileggendo mi sta venendo il dubbio che la domanda fosse un'altra. Forse volevi sapere perché un intervallo $[x,y]$ non è aperto in topologia euclidea? In questo caso la risposta è semplice: non è aperto perché non è unione di elementi di una base della topologia euclidea, tipicamente la famiglia ${(a, b)}$ di cui sopra. Infatti se fosse $[x, y]=\bigcup_{alpha}(a_alpha, b_alpha)$, necessariamente $x$ e $y$ dovrebbero appartenere ad un intervallo $(a_alpha, b_alpha)$. Ma questo comporta che $a_alpha
rileggendo il testo dopo aver visto anche i dubbi manifestati da ViciusGoblinEnters e da dissonance, forse ho capito il dubbio di Steven!
in realtà non è un'incongruenza ...
è vero che è possibile prendere gli intervalli chiusi come base di una topologia (come anche detto da altri) ed è vero che non li puoi ottenere partendo da una topologia avente come base gli intervalli aperti: semplicemente non stai parlando della stessa topologia.
la topologia euclidea (quella che ha per base gli intervalli aperti) non ha come aperti gli intervalli chiusi.
una topologia che ha come base gli intervalli chiusi è la topologia discreta, strettamente più fine della euclidea.
scusate se mi sono permessa di ripetere concetti già espressi chiaramente da altri, ma spero almeno che una specie di riepilogo sintetico sia stato utile a Steven.
ciao.
in realtà non è un'incongruenza ...
è vero che è possibile prendere gli intervalli chiusi come base di una topologia (come anche detto da altri) ed è vero che non li puoi ottenere partendo da una topologia avente come base gli intervalli aperti: semplicemente non stai parlando della stessa topologia.
la topologia euclidea (quella che ha per base gli intervalli aperti) non ha come aperti gli intervalli chiusi.
una topologia che ha come base gli intervalli chiusi è la topologia discreta, strettamente più fine della euclidea.
scusate se mi sono permessa di ripetere concetti già espressi chiaramente da altri, ma spero almeno che una specie di riepilogo sintetico sia stato utile a Steven.
ciao.
"Steven":
Il fatto è questo: un intervallo del tipo $[x,y]$, perché non è aperto?
Un insieme è aperto se e solo se tutti i suoi punti sono punti interni.
In topologia naturale i punti $x,y \in [x,y]$ non sono interni, ergo $[x,y]$ non è aperto.
Grazie a tutti per le risposte, anzi scusate se sono apparso a tratti ambiguo.
Il dubbio di fondo se ne è andato vedendo i controesempi di Eredir e di dissonance, rendendomi conto che non è rispettata la condizione che indicavo con 2), come all'inizio credevo, e come ha smentito @melia.
Quindi se non erro, dissonance, piccola divagazione, le due espressioni
$\bigcup_{n\inNN}[-1+1/n, 1-1/n]=(-1, 1)$
$\bigcup_{n\inNN}(-1+1/n, 1-1/n)=(-1, 1)$
sono la stessa cosa in termini di risultato?
Ecco, notavo queste affermazioni.
La topologia discreta "prevede" che ogni singoletto dello spazio sia un aperto.
Se prendo come spazio $RR$, significa che ogni $x\inRR$ è aperto.
Posso dire quindi che l'insieme degli intervalli chiusi è una base poiché, se li considero tutti, allora scelto un singoletto $x$ sicuramente esistoni due intervalli chiusi $[a,x]$ e $[x,b]$ sicchè possiamo ricavare il singoletto $x$ dall'intersezione?
Tutto corretto?
Poi leggevo da wikipedia che una definizione equivalente per topologia discreta è questa: Tutti i sottoinsiemi di X sono chiusi. .
All'inizio sono rimasto così, poi ho pensato: se ogni sottoinsieme è chiuso, allora il complementare è necessariamente aperto, da cui ogni sottoinsieme è aperto. Ma anche chiuso, quindi? Altrimenti non mi spiego perché su wikipedia prima nella definizione dice che sono tutti aperti, poi dice tutto il contrario.
No, macché. Anzi, sono contento se il topic si allunga: da cosa nasce cosa, e gli spunti di riflessione si moltiplicano.
Topologia naturale.. sarebbe quella discreta?
Se è così, come mi pare di capire da wikipedia
allora non è vero che ogni sottoinsieme è aperto.
Grazie se avrete la pazienza di rispondere ai più interrogativi.
Nel frattempo, anticipo una prossima domanda sulla retta di Sorgenfrey, che dissonance ha già citato dicendo
Buone cose!
Il dubbio di fondo se ne è andato vedendo i controesempi di Eredir e di dissonance, rendendomi conto che non è rispettata la condizione che indicavo con 2), come all'inizio credevo, e come ha smentito @melia.
"dissonance":
E per voler fare un altro esempio super-classico: $\bigcup_{n\inNN}[-1+1/n, 1-1/n]=(-1, 1)$, che non è un intervallo chiuso.
Quindi se non erro, dissonance, piccola divagazione, le due espressioni
$\bigcup_{n\inNN}[-1+1/n, 1-1/n]=(-1, 1)$
$\bigcup_{n\inNN}(-1+1/n, 1-1/n)=(-1, 1)$
sono la stessa cosa in termini di risultato?
"adaBTTLS":
una topologia che ha come base gli intervalli chiusi è la topologia discreta, strettamente più fine della euclidea.
"ViciousGoblinEnters":
Rileggendo la domanda e un post precedente mi viene il dubbio che cio' che Steven si domandava in realta' fosse se la famiglia degli intervalli chiusi non sia per caso una base.
?????
Se questo era il problema direi che si', gli intervalli chiusi costituiscono una base, ma per una topologia diversa da quella euclidea ( i punti sono aperti, dunque la topologia discreta).
Ecco, notavo queste affermazioni.
La topologia discreta "prevede" che ogni singoletto dello spazio sia un aperto.
Se prendo come spazio $RR$, significa che ogni $x\inRR$ è aperto.
Posso dire quindi che l'insieme degli intervalli chiusi è una base poiché, se li considero tutti, allora scelto un singoletto $x$ sicuramente esistoni due intervalli chiusi $[a,x]$ e $[x,b]$ sicchè possiamo ricavare il singoletto $x$ dall'intersezione?
Tutto corretto?
Poi leggevo da wikipedia che una definizione equivalente per topologia discreta è questa: Tutti i sottoinsiemi di X sono chiusi. .
All'inizio sono rimasto così, poi ho pensato: se ogni sottoinsieme è chiuso, allora il complementare è necessariamente aperto, da cui ogni sottoinsieme è aperto. Ma anche chiuso, quindi? Altrimenti non mi spiego perché su wikipedia prima nella definizione dice che sono tutti aperti, poi dice tutto il contrario.
"adaBTTLS":
scusate se mi sono permessa di ripetere concetti già espressi chiaramente da altri, ma spero almeno che una specie di riepilogo sintetico sia stato utile a Steven.
No, macché. Anzi, sono contento se il topic si allunga: da cosa nasce cosa, e gli spunti di riflessione si moltiplicano.
"Gugo82":
Un insieme è aperto se e solo se tutti i suoi punti sono punti interni.
In topologia naturale i punti $x,y \in [x,y]$ non sono interni, ergo $[x,y]$ non è aperto.
Topologia naturale.. sarebbe quella discreta?
Se è così, come mi pare di capire da wikipedia
"wikipedia":
La topologia discreta può essere considerata come la "topologia naturale" di un insieme, in cui i punti sono tutti "staccati" l'uno dall'altro.
allora non è vero che ogni sottoinsieme è aperto.
Grazie se avrete la pazienza di rispondere ai più interrogativi.
Nel frattempo, anticipo una prossima domanda sulla retta di Sorgenfrey, che dissonance ha già citato dicendo
"dissonance":
con ${[a, b)\ |\ a,b\inRR}$ e ${(a, b]\ |\ a,b\inRR}$ costruiamo delle topologie strettamente più fini di quella euclidea;
Buone cose!
"Steven":
Quindi se non erro, dissonance, piccola divagazione, le due espressioni
$\bigcup_{n\inNN}[-1+1/n, 1-1/n]=(-1, 1)$
$\bigcup_{n\inNN}(-1+1/n, 1-1/n)=(-1, 1)$
sono la stessa cosa in termini di risultato?
<\begin mode dissonance>Sì<\end mode dissonance>
"Steven":
Poi leggevo da wikipedia che una definizione equivalente per topologia discreta è questa: Tutti i sottoinsiemi di X sono chiusi. .
All'inizio sono rimasto così, poi ho pensato: se ogni sottoinsieme è chiuso, allora il complementare è necessariamente aperto, da cui ogni sottoinsieme è aperto. Ma anche chiuso, quindi? Altrimenti non mi spiego perché su wikipedia prima nella definizione dice che sono tutti aperti, poi dice tutto il contrario.
Essere aperto non impedisce di essere chiuso.
Magari dà un po' fastidio rispetto all'uso comune dei termini.
"Steven":
[quote="Gugo82"]Un insieme è aperto se e solo se tutti i suoi punti sono punti interni.
In topologia naturale i punti $x,y \in [x,y]$ non sono interni, ergo $[x,y]$ non è aperto.
Topologia naturale.. sarebbe quella discreta?
Se è così, come mi pare di capire da wikipedia
"wikipedia":
La topologia discreta può essere considerata come la "topologia naturale" di un insieme, in cui i punti sono tutti "staccati" l'uno dall'altro.
allora non è vero che ogni sottoinsieme è aperto.[/quote]
<\begin mode Gugo82>No, parlando di topologia "naturale" (sottinteso, su $RR$) mi riferivo a quella euclidea<\end mode Gugo82>
le tue deduzioni sono tutte esatte, ... finché non hai citato Gugo82.
penso di poter affermare che lui intendesse la topologia euclidea per "naturale": sentiamo lui, però in base a quello che afferma sembrerebbe proprio così!
quanto alla retta di Sorgenfrey, ti suggerisco di vedere anche una discussione su un mio quesito cui ha risposto ViciousGoblinEnters tempo fa.
ti lascio il link:
https://www.matematicamente.it/forum/ese ... 31297.html
ciao.
penso di poter affermare che lui intendesse la topologia euclidea per "naturale": sentiamo lui, però in base a quello che afferma sembrerebbe proprio così!
quanto alla retta di Sorgenfrey, ti suggerisco di vedere anche una discussione su un mio quesito cui ha risposto ViciousGoblinEnters tempo fa.
ti lascio il link:
https://www.matematicamente.it/forum/ese ... 31297.html
ciao.
"Steven":
Quindi se non erro, dissonance, piccola divagazione, le due espressioni
$\bigcup_{n\inNN}[-1+1/n, 1-1/n]=(-1, 1)$
$\bigcup_{n\inNN}(-1+1/n, 1-1/n)=(-1, 1)$
sono la stessa cosa in termini di risultato?
Certo. Anzi, sarebbe stato strano il contrario. "Al finito", cioè pensando ad una unione finita dei primi $n$ intervalli, la differenza è di due soli punti: $\bigcup_{i=1}^n(-1+1/i, 1-1/i)=(-1+1/n, 1-1/n), \bigcup_{i=1}^n[-1+1/i, 1-1/i]=[-1+1/n, 1-1/n]$. Quindi l'unione dei primi $n$ intervalli aperti è contenuta nell'unione dei primi $n$ intervalli chiusi. Tuttavia gli aperti rimontano subito: già l'unione dei primi $n+1$ intervalli aperti contiene quella dei primi $n$ intervalli chiusi.
Ricapitolando: (posto $A_n$ l'unione dei primi $n$ aperti e $C_n$ quella dei primi $n$ chiusi)
$A_n\subC_n\subA_{n+1}$. E' chiaro che questa situazione si livella nel passaggio dal finito all'infinito: $A_\infty\subC_infty\subA_infty$ ovvero $A_infty=C_infty$. (Non è una vera dimostrazione ma ci siamo capiti di sicuro).
"Steven":
La topologia discreta "prevede" che ogni singoletto dello spazio sia un aperto.
Se prendo come spazio $RR$, significa che ogni $x\inRR$ è aperto.
Posso dire quindi che l'insieme degli intervalli chiusi è una base poiché, se li considero tutti, allora scelto un singoletto $x$ sicuramente esistoni due intervalli chiusi $[a,x]$ e $[x,b]$ sicchè possiamo ricavare il singoletto $x$ dall'intersezione?
Tutto corretto?
Giusto. In realtà è ancora più semplice: $[x, x]$ è un intervallo chiuso.
"Steven":
Poi leggevo da wikipedia che una definizione equivalente per topologia discreta è questa: Tutti i sottoinsiemi di X sono chiusi. .
All'inizio sono rimasto così, poi ho pensato: se ogni sottoinsieme è chiuso, allora il complementare è necessariamente aperto, da cui ogni sottoinsieme è aperto. Ma anche chiuso, quindi? Altrimenti non mi spiego perché su wikipedia prima nella definizione dice che sono tutti aperti, poi dice tutto il contrario.
"Chiuso" non è il contrario di "aperto". Esistono un sacco di topologie con insiemi contemporaneamente chiusi e aperti. Se vuoi ti anticipo una cosa: questo è alla base del concetto di connessione, quindi più avanti vedrai nel dettaglio cosa significa avere uno spazio topologico con insiemi chiusi e contemporaneamente aperti. Per il momento, abituati all'idea.
P.S.: Ovviamente scrivevo in contemporanea a tutti gli altri. Per fortuna non ho (apparentemente) detto fesserie!
Se avessi voluto intendere topologia discreta avrei scritto "topologia discreta". 
Come già detto da FP, per topologia naturale di $RR$ intendo proprio quella generata dagli intervalli aperti la quale, come saprai, coincide con quella generata dalla metrica del valore assoluto (detta usualmente topologia euclidea); questa è la terminologia usata dal mio libro di Topologia del secondo anno (Tallini, Strutture Geometriche) e la uso per abitudine, anche se forse è un po' ambigua.
Come già detto da FP, per topologia naturale di $RR$ intendo proprio quella generata dagli intervalli aperti la quale, come saprai, coincide con quella generata dalla metrica del valore assoluto (detta usualmente topologia euclidea); questa è la terminologia usata dal mio libro di Topologia del secondo anno (Tallini, Strutture Geometriche) e la uso per abitudine, anche se forse è un po' ambigua.
Buonasera.
Sì sì, già lo avevo visto usando la funzione cerca, come normalmente si dovrebbe fare (e noi a maggior ragione per il buon esempio).
Purtroppo leggo che la discussione ruota sul concetto di compattezza, che ancora mi è estraneo.
Rinvierò la consultazione del topic per tempi più maturi.
Grazie a entrambi per le risposte.
Non conoscevo tale modo di chiamate la top. euclidea.
A questo punto, chiedo, in riferimento a tale affermazione
Questa è una definizione alternativa con cui posso indicare la topolgia euclidea, o una banale conseguenza della definizione usuale e del fatto che gli estremi non stanno dentro l'intervallo aperto?
Certo, ho capito benissimo
Ah, ho capito. Va bene, terrò a mente.
Sì, già ne ho incontrati di questo tipo, proprio con la retta di Sorgenfrey.
Ti ringrazio molto per la tua disponibilità.
Ciao a tutti, a presto!
"adaBTTLS":
quanto alla retta di Sorgenfrey, ti suggerisco di vedere anche una discussione su un mio quesito cui ha risposto ViciousGoblinEnters tempo fa.
ti lascio il link:
https://www.matematicamente.it/forum/ese ... 31297.html
Sì sì, già lo avevo visto usando la funzione cerca, come normalmente si dovrebbe fare (e noi a maggior ragione per il buon esempio
).Purtroppo leggo che la discussione ruota sul concetto di compattezza, che ancora mi è estraneo.
Rinvierò la consultazione del topic per tempi più maturi.
"Gugo82":
Se avessi voluto intendere topologia discreta avrei scritto "topologia discreta".
"Fioravante Patrone":
<\begin mode Gugo82>No, parlando di topologia "naturale" (sottinteso, su $RR$) mi riferivo a quella euclidea<\end mode Gugo82>
Grazie a entrambi per le risposte.
Non conoscevo tale modo di chiamate la top. euclidea.
A questo punto, chiedo, in riferimento a tale affermazione
"Gugo82":
Un insieme è aperto se e solo se tutti i suoi punti sono punti interni
Questa è una definizione alternativa con cui posso indicare la topolgia euclidea, o una banale conseguenza della definizione usuale e del fatto che gli estremi non stanno dentro l'intervallo aperto?
"dissonance":
Certo. Anzi, sarebbe stato strano il contrario. "Al finito", cioè pensando ad una unione finita dei primi $n$ intervalli, la differenza è di due soli punti: $\bigcup_{i=1}^n(-1+1/i, 1-1/i)=(-1+1/n, 1-1/n), \bigcup_{i=1}^n[-1+1/i, 1-1/i]=[-1+1/n, 1-1/n]$. Quindi l'unione dei primi $n$ intervalli aperti è contenuta nell'unione dei primi $n$ intervalli chiusi. Tuttavia gli aperti rimontano subito: già l'unione dei primi $n+1$ intervalli aperti contiene quella dei primi $n$ intervalli chiusi.
Ricapitolando: (posto $A_n$ l'unione dei primi $n$ aperti e $C_n$ quella dei primi $n$ chiusi)
$A_n\subC_n\subA_{n+1}$. E' chiaro che questa situazione si livella nel passaggio dal finito all'infinito: $A_\infty\subC_infty\subA_infty$ ovvero $A_infty=C_infty$. (Non è una vera dimostrazione ma ci siamo capiti di sicuro).
Certo, ho capito benissimo
"Steven":
Giusto. In realtà è ancora più semplice: $[x, x]$ è un intervallo chiuso.
Ah, ho capito. Va bene, terrò a mente.
"dissonance":
"Chiuso" non è il contrario di "aperto". Esistono un sacco di topologie con insiemi contemporaneamente chiusi e aperti. Se vuoi ti anticipo una cosa: questo è alla base del concetto di connessione, quindi più avanti vedrai nel dettaglio cosa significa avere uno spazio topologico con insiemi chiusi e contemporaneamente aperti. Per il momento, abituati all'idea.
Sì, già ne ho incontrati di questo tipo, proprio con la retta di Sorgenfrey.
Ti ringrazio molto per la tua disponibilità.
Ciao a tutti, a presto!
La proprietà degli insiemi aperti è generale: in ogni spazio topologico $(X,\tau)$ si ha $A\in \tau \quad \Leftrightarrow \quad "int" (A)=A$.
[Note: con $"int" (Y)$ denoto l'insieme dei punti interni di $Y\subseteq X$; un punto $y\in Y$ è interno ad $Y$ se e solo se esiste un aperto $U\in \tau$ tale che $y\in U\subseteq Y$; l'insieme dei punti interni si può caratterizzare come l'elemento massimale (rispetto all'inclusione) nella famiglia di $\tau$ formata dagli aperti $A\subseteq Y$ e da questa caratterizzazione discende il risultato che ho riportato sopra.]
[Note: con $"int" (Y)$ denoto l'insieme dei punti interni di $Y\subseteq X$; un punto $y\in Y$ è interno ad $Y$ se e solo se esiste un aperto $U\in \tau$ tale che $y\in U\subseteq Y$; l'insieme dei punti interni si può caratterizzare come l'elemento massimale (rispetto all'inclusione) nella famiglia di $\tau$ formata dagli aperti $A\subseteq Y$ e da questa caratterizzazione discende il risultato che ho riportato sopra.]
"Gugo82":
La proprietà degli insiemi aperti è generale: in ogni spazio topologico $(X,\tau)$ si ha $A\in \tau \quad \Leftrightarrow \quad "int" (A)=A$.
[Note: con $"int" (Y)$ denoto l'insieme dei punti interni di $Y\subseteq X$; un punto $y\in Y$ è interno ad $Y$ se e solo se esiste un aperto $U\in \tau$ tale che $y\in U\subseteq Y$; l'insieme dei punti interni si può caratterizzare come l'elemento massimale (rispetto all'inclusione) nella famiglia di $\tau$ formata dagli aperti $A\subseteq Y$ e da questa caratterizzazione discende il risultato che ho riportato sopra.]
Perfetto.
Grazie per il chiarimento, Gugo82
Alla prossima!
Ciao.
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