Topologia, esercizio funzione continua
Sia $f: RR to RR$ continua t.c. $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Dimostra che $f(x)=kx$, con $k=f(1)$.
Le uniche cose che mi sono venute in mente sono $f(0)=0$ e $f(nx)=n*f(x)$ se n intero.
Le uniche cose che mi sono venute in mente sono $f(0)=0$ e $f(nx)=n*f(x)$ se n intero.
Risposte
Intanto devi assumere pure che \(f\) è continua, altrimenti è falso. E poi devi scrivere qualcosa in più, "non so da dove partire" purtroppo non è sufficiente.
Ho corretto, grazie.
Questo è abbastanza famoso come esercizio
Per ogni $n$ intero si dimostra che
1) $f(n)=nf(1)$
Come? Applicando la proprietà additiva della funzione; inoltre possiamo dimostrare che $f(1/n)=\frac{1}{n}f(1)$, infatti
2) $f(1)=f(n \cdot 1/n)=f(1/n)+f(1/n)+...=nf(1/n)$
In generale sempre per la proprietà additiva dato un qualsiasi razionale $m/n$ si ha $f(m/n)=\frac{m}{n}f(1)$. Ora $\mathbb{Q}$ è denso in $\mathbb{R}$ quindi per ogni $x \in \mathbb{R}$ esiste una successione ${x_n} \sub \mathbb{Q}$ tale che $x_n \rightarrow x$ quindi
$f(x_n-x)=f(x_n)-f(x)=x_nf(1)-f(x)$
Passando al limite (e ora si usa l'ipotesi di continuità)
3) $\lim_{n \rightarrow +\infty}f(x_n-x)=f(\lim_{n \rightarrow +\infty} x_n-x)=f(0)=0=\lim_{n \rightarrow +\infty} x_nf(1)-f(x)=xf(1)-f(x)$
Per ogni $n$ intero si dimostra che
1) $f(n)=nf(1)$
Come? Applicando la proprietà additiva della funzione; inoltre possiamo dimostrare che $f(1/n)=\frac{1}{n}f(1)$, infatti
2) $f(1)=f(n \cdot 1/n)=f(1/n)+f(1/n)+...=nf(1/n)$
In generale sempre per la proprietà additiva dato un qualsiasi razionale $m/n$ si ha $f(m/n)=\frac{m}{n}f(1)$. Ora $\mathbb{Q}$ è denso in $\mathbb{R}$ quindi per ogni $x \in \mathbb{R}$ esiste una successione ${x_n} \sub \mathbb{Q}$ tale che $x_n \rightarrow x$ quindi
$f(x_n-x)=f(x_n)-f(x)=x_nf(1)-f(x)$
Passando al limite (e ora si usa l'ipotesi di continuità)
3) $\lim_{n \rightarrow +\infty}f(x_n-x)=f(\lim_{n \rightarrow +\infty} x_n-x)=f(0)=0=\lim_{n \rightarrow +\infty} x_nf(1)-f(x)=xf(1)-f(x)$
grazie Dan
@marco: comunque correggi il titolo per favore, togli "tipologia" 
Si dice "topologia"
Si dice "topologia"
@dissonance
Va bene non saper fare gli esercizi.. ma almeno il nome della "materia" lo so ahahahah
sarà stato il correttore del telefono, ora modifico, grazie
Va bene non saper fare gli esercizi.. ma almeno il nome della "materia" lo so ahahahah
sarà stato il correttore del telefono, ora modifico, grazie
"marcorossi94":
sarà stato il correttore del telefono
Questo si era capito
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