(topologia) Esempi di spazi $T_K$ ma non $T_(k+1)$
Trovare uno spazio $T_2$ ma nn $T_3$
Trovare uno spazio $T_3$ ma non $T_4$
richiamo
$T_1$
Uno spazio topologico si dice $T_1$ se per ogni coppia di punti distinti $x,y$ esistono due aperti, l'uno contenente $x$ e non $y$ e l'altro contenente $y$ e non $x$
$T_2$
Uno spazio topologico si dice $T_2$ se per ogni coppia di punti distinti $x,y$ esistono due aperti disgiunti, l'uno contenente $x$ e l'altro contenente $y$
$T_3$
Uno spazio topologico si dice $T_3$ se è $T_1$ e se per ogni sottoinsieme chiuso $F$ e per ogni punto $x$ non appartenente ad $F$ esistono due aperti, l'uno contenente $F$ e l'altro contenente $x$
$T_4$
Uno spazio topologico si dice $T_4$ se è $T_1$ e se per ogni coppia di chiusi disgiunti $F_1$ e $F_2$ esistono due aperti disgiunti, l'uno contenente $F_1$ e l'altro contenete $F_2$
Le idee scarseggiano, ho provato con insiemi finiti, ma alla fine non torna, il problema è che tutti gli spazi "noti" sono abbastanza reolari, quindi pensavo che l'unico modo per avere un esempio è quello di quozientare oppure di mettere qualche topologia innaturale (brutta).
Trovare uno spazio $T_3$ ma non $T_4$
richiamo
$T_1$
Uno spazio topologico si dice $T_1$ se per ogni coppia di punti distinti $x,y$ esistono due aperti, l'uno contenente $x$ e non $y$ e l'altro contenente $y$ e non $x$
$T_2$
Uno spazio topologico si dice $T_2$ se per ogni coppia di punti distinti $x,y$ esistono due aperti disgiunti, l'uno contenente $x$ e l'altro contenente $y$
$T_3$
Uno spazio topologico si dice $T_3$ se è $T_1$ e se per ogni sottoinsieme chiuso $F$ e per ogni punto $x$ non appartenente ad $F$ esistono due aperti, l'uno contenente $F$ e l'altro contenente $x$
$T_4$
Uno spazio topologico si dice $T_4$ se è $T_1$ e se per ogni coppia di chiusi disgiunti $F_1$ e $F_2$ esistono due aperti disgiunti, l'uno contenente $F_1$ e l'altro contenete $F_2$
Le idee scarseggiano, ho provato con insiemi finiti, ma alla fine non torna, il problema è che tutti gli spazi "noti" sono abbastanza reolari, quindi pensavo che l'unico modo per avere un esempio è quello di quozientare oppure di mettere qualche topologia innaturale (brutta).
Risposte
Io ti posto degli esempi dal libro di Tallini "Strutture Geometriche" Liguori editore!
I) Spazio di Hausdorff ([tex]$T_2$[/tex]) non [tex]$T_3$[/tex]: lo spazio topologico su [tex]$\mathbb{R}$[/tex] avente per base topologica gl'intervalli aperti limitati e gl'intervalli aperti limitati intersecati con [tex]$\mathbb{Q}$[/tex]!
II) Spazio [tex]$T_3$[/tex] non [tex]$T_4$[/tex]: lo spazio topologico prodotto di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] strutturato con la topologia di Sorgenfrey con sé stesso! (Piano di Sorgenfrey)
OUT OF SELF: Alcuni autori parlano indifferentemente di spazi [tex]$T_3$[/tex] o regolari e spazi [tex]$T_4$[/tex] o normali (come Tallini), ciò è dovuto al fatto che gli spazi [tex]$T_3$[/tex] sono spazi di Fréchet ([tex]$T_1$[/tex]) soddisfacenti l'assioma di regolarità e gli spazi [tex]$T_4$[/tex] sono spazi di Fréchet soddisfacenti l'assioma di normalità; altri autori distinguono gli spazi regolari e\o normali, ovvero soddisfacenti l'opportuno assioma, dagli spazi [tex]$T_3$[/tex] e\o [tex]$T_4$[/tex].
I) Spazio di Hausdorff ([tex]$T_2$[/tex]) non [tex]$T_3$[/tex]: lo spazio topologico su [tex]$\mathbb{R}$[/tex] avente per base topologica gl'intervalli aperti limitati e gl'intervalli aperti limitati intersecati con [tex]$\mathbb{Q}$[/tex]!
II) Spazio [tex]$T_3$[/tex] non [tex]$T_4$[/tex]: lo spazio topologico prodotto di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] strutturato con la topologia di Sorgenfrey con sé stesso! (Piano di Sorgenfrey)
OUT OF SELF: Alcuni autori parlano indifferentemente di spazi [tex]$T_3$[/tex] o regolari e spazi [tex]$T_4$[/tex] o normali (come Tallini), ciò è dovuto al fatto che gli spazi [tex]$T_3$[/tex] sono spazi di Fréchet ([tex]$T_1$[/tex]) soddisfacenti l'assioma di regolarità e gli spazi [tex]$T_4$[/tex] sono spazi di Fréchet soddisfacenti l'assioma di normalità; altri autori distinguono gli spazi regolari e\o normali, ovvero soddisfacenti l'opportuno assioma, dagli spazi [tex]$T_3$[/tex] e\o [tex]$T_4$[/tex].
sisi
funziona tutto, grazie
io non ci avrei mai pensato...
funziona tutto, grazie
io non ci avrei mai pensato...
Prego: io non ci penso mai 
Va bè per completezza, non si sa mai in futuro qualcuno legga questa discussione, ho trovato un altro esempio di uno spazio $T_2$ ma non $T_3$
Si consideri $RR$ con la topologia $U$ è aperto se e soltato se per ogni $s \in U$ esiste $t>s$ tale che $[s.t) sub U$
Che è $T_2$ è semplice, che non è $T_3$ basta prendere come chiuso $[s,t)^c$ e come punto $s$, questi non sono separabili da aperti.
Si consideri $RR$ con la topologia $U$ è aperto se e soltato se per ogni $s \in U$ esiste $t>s$ tale che $[s.t) sub U$
Che è $T_2$ è semplice, che non è $T_3$ basta prendere come chiuso $[s,t)^c$ e come punto $s$, questi non sono separabili da aperti.
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