[Topologia] Dubbio su compattezza
Stavo svolgendo un esercizio e mi sono arenato sul mostrare che uno spazio non è compatto.
Considero questo insieme [tex]$B=\{ \{x\} \cup ]0,\infty[ | x \in \mathbb{R} \}[/tex] che è la base di una topologia su [tex]\mathbb{R}[/tex].
Questa topologia, chiamiamola [tex]$\tau[/tex] possiamo scriverla così: [tex]$\tau= \{\,B\cup]0,+\infty[:\,B\subset \mathbb{R}\,\}\cup\{\emptyset\}[/tex]
Mi si chiede di dimostrare che è connesso, ed è facile osservando che di aperti disgiunti non vuoti non ve ne sono ([tex]\mathbb{R}[/tex] a parte).
E mi si chiede di provare che invece non è compatto. Qui ho dei problemi.
L'idea è quella di prendere un ricoprimento che è del tipo [tex]$\bigcup_{i \in J} \{x_i\} \cup ]0,+\infty[[/tex] con $J$ finito e si ha quindi che ogni [tex]x_k, k \notin J[/tex] questo non appartiene al ricoprimento costruito. Però non sono convinto di questa cosa. Anche perchè preso [tex]B=]-\infty,0][/tex] l'insieme [tex]A=B \cup ]0,+\infty[[/tex] sarebbe aperto no? E non basterebbe prendere questo insieme $A$ per ricoprire $RR$? (Ciò $RR$ sarebbe compatto!)
Qualche aiuto?
Considero questo insieme [tex]$B=\{ \{x\} \cup ]0,\infty[ | x \in \mathbb{R} \}[/tex] che è la base di una topologia su [tex]\mathbb{R}[/tex].
Questa topologia, chiamiamola [tex]$\tau[/tex] possiamo scriverla così: [tex]$\tau= \{\,B\cup]0,+\infty[:\,B\subset \mathbb{R}\,\}\cup\{\emptyset\}[/tex]
Mi si chiede di dimostrare che è connesso, ed è facile osservando che di aperti disgiunti non vuoti non ve ne sono ([tex]\mathbb{R}[/tex] a parte).
E mi si chiede di provare che invece non è compatto. Qui ho dei problemi.
L'idea è quella di prendere un ricoprimento che è del tipo [tex]$\bigcup_{i \in J} \{x_i\} \cup ]0,+\infty[[/tex] con $J$ finito e si ha quindi che ogni [tex]x_k, k \notin J[/tex] questo non appartiene al ricoprimento costruito. Però non sono convinto di questa cosa. Anche perchè preso [tex]B=]-\infty,0][/tex] l'insieme [tex]A=B \cup ]0,+\infty[[/tex] sarebbe aperto no? E non basterebbe prendere questo insieme $A$ per ricoprire $RR$? (Ciò $RR$ sarebbe compatto!)
Qualche aiuto?
Risposte
Pure tu ti stai a scervellare su questioni matematiche il 24 dicembre, eh?
Comunque io la farei più breve. Prendiamo il ricoprimento aperto
${{x}uu(0, \infty): x \in RR}$.
Vuoi trovare un sottoricoprimento finito? Auguri!
Non ho capito l'idea 
A me pare che per dimostrare la non compattezza devi produrre un ricoprimento da cui non si possa estrarre nessun ricoprimento finito.
Allora io prenderei $\bigcup_{x\leq 0} {x}\cup ]0,+\infty[$, che chiaramente ricopre $RR$ ma da cui non mi pare si possa togliere nulla se si vuole continuare a coprire tutto.
EDIT- Però anche tu, dissonace, non sembri proprio in vacanza ... - by the way BUON NATALE
A me pare che per dimostrare la non compattezza devi produrre un ricoprimento da cui non si possa estrarre nessun ricoprimento finito.
Allora io prenderei $\bigcup_{x\leq 0} {x}\cup ]0,+\infty[$, che chiaramente ricopre $RR$ ma da cui non mi pare si possa togliere nulla se si vuole continuare a coprire tutto.
EDIT- Però anche tu, dissonace, non sembri proprio in vacanza ... - by the way BUON NATALE
L'idea era proprio quella che avete detto voi due, solo che al solito l'ho detta da cani, cercando di formalizzare l'idea! 
Vi ringrazio per la conferma. (Ho capito anche perché l'altra cosa che ho scritto non è corretta!)
E tanti auguri a voi!
Vi ringrazio per la conferma.
(Ho capito anche perché l'altra cosa che ho scritto non è corretta!)E tanti auguri a voi!
"ViciousGoblin":
EDIT- Però anche tu, dissonace, non sembri proprio in vacanza ... - by the way BUON NATALE
[OT]
Infatti il "pure tu" era da intendersi "pure tu, come me, stai pensando alla matematica il 24 dicembre!". Io ho avuto l'infelice idea di aprire oggi un libro che mi hanno regalato, trovando subito un esercizio interessante e adesso finché non lo risolvo non riesco a smettere di pensarci! Cose da pazzi!!!
Comunque BUON NATALE anche a te, VG, e anche a mistake che è nelle mie stesse condizioni!!! Auguri!!!
[OT] Con buona pace anche domani mi darò a questioni matematiche ed anche musicali.
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