Topologia discreta su $RR^2$

[squalllionheart]

Devo dire se esiste su $RR^2$ un sottoinsieme chiuso e limitato non compatto.
Allora se ho quella topologia ogni punto è chiuso, il fatto che sia limitato mi dice solo che è dentro un intorno sferico di raggio finito. I compatti con questa topologia sono in generale sottoinsiemi finiti. Ogni insieme infinito è nn compatto. Dunque esistono su $RR^2$ sottoinsiemi chiusi e limitati non compatti.Ad esempio tutti i dischi in $RR^2$ sono chiusi limitati ma formati da infiniti punti.

[pat871]

Non mi convince che i compatti nella topologia discreta sono soltanto i sottoinsiemi finiti. Sei sicuro?

Io sarei più tentato di considerare l'esempio $RR^2$ con la topologia generata dalla metrica
$d(a,b) := min{ 1, ||b-a||}$

Prendendo $RR^2$ come sottoinsieme, questo è chiuso e limitato per definizione (ogni suo sottoinsieme è limitato con quella metrica), ma non è compatto.

[squalllionheart]

Scusa pat l'esercizo è proprio $RR^2$ con topologia discreta, dire se esiste un sottoinsieme chiuso e limitato non compatto.

[pat871]

Ah ok non avevo capito.
Ok, ragionando (a quest'ora di notte può capitare di fare ragionamenti a vuoto) ho concluso che hai ragione. Un disco è un unione infinita di punti (aperti) e non ammette un sottoricoprimento finito e quindi non è compatto, ma è chiuso e limitato.

[gugo82]

"pat87":Non mi convince che i compatti nella topologia discreta sono soltanto i sottoinsiemi finiti. Sei sicuro?

Sia $X \subseteq RR^2$ infinito. La famiglia di singleton $\{ \{ x\} \}_(x \in X)$ è un ricoprimento aperto di $X$ in $RR^2$ discreto dal quale non è possibile estrarre un ricoprimento finito; ergo $X$ non è compatto in $RR^2$ discreto.
D'altra parte, se $X$ è finito, da ogni ricoprimento di $X$ è possibile estrarre un ricoprimento finito (basta scegliere per ogni punto di $x\in X$ un elemento del ricoprimento cui $x$ appartiene), quindi $X$ è compatto.

Che dici, pat87, funziona?

[squalllionheart]

Ok grazie

[gugo82]

@squalllionheart: La soluzione al tuo problema l'avevi già determinata. Però mi rimane una domanda: quando dici "chiuso e limitato" ti riferisci alla topologia discreta?

[squalllionheart]

io l'ho pensato in generale per dir la verità...

[gugo82]

Il dubbio mi era venuto perchè "limitato" non è un concetto topologico "puro" (come "chiuso"), ma è un concetto "metrico".

[vict85]

Sono d'accordo con Gugo82: il concetto di limitato è legato ad una certa metrica. In ogni caso credo che il problema non desse particolari problemi interpretativi...

[pat871]

"Gugo82":[quote="pat87"]Non mi convince che i compatti nella topologia discreta sono soltanto i sottoinsiemi finiti. Sei sicuro?

Sia $X \subseteq RR^2$ infinito. La famiglia di singleton $\{ \{ x\} \}_(x \in X)$ è un ricoprimento aperto di $X$ in $RR^2$ discreto dal quale non è possibile estrarre un ricoprimento finito; ergo $X$ non è compatto in $RR^2$ discreto.
D'altra parte, se $X$ è finito, da ogni ricoprimento di $X$ è possibile estrarre un ricoprimento finito (basta scegliere per ogni punto di $x\in X$ un elemento del ricoprimento cui $x$ appartiene), quindi $X$ è compatto.

Che dici, pat87, funziona?[/quote]

Si scusatemi avevo il cervello in pappa ieri
In ogni caso ogni insieme può essere limitato secondo una certa metrica, basta scegliere per esempio $d(p,q) = 0$ se $p=q$, $d(p,q) = 1$, se $p ne q$, e quindi sei a posto perché questa metrica induce proprio la topologia discreta.