Topologia di R^n
'sera!
Consideriamo insiemi $A sube RR^n$:
Quando si dice "un punto x che appartiene ad A, cosa si intende? Un punto interno?
Altra cosa: sapreste farmi un esempio di un punto di accomulazione che non sia di frontiera? Un punto isolato è di frontiera? Per ogni intorno circolare abbiamo sia punti esterni che punti interni (il punto stesso), quindi un punto isolato possiamo dire che è di frontiera? In tal caso, per un punto isolato non è vero che per ogni intorno abbiamo punti di A diversi dal punto stesso. Quindi un punto isolato non è di accolulazione; ma mi resta il dubbio se sia di frontiera.
Grazie!
Consideriamo insiemi $A sube RR^n$:
Quando si dice "un punto x che appartiene ad A, cosa si intende? Un punto interno?
Altra cosa: sapreste farmi un esempio di un punto di accomulazione che non sia di frontiera? Un punto isolato è di frontiera? Per ogni intorno circolare abbiamo sia punti esterni che punti interni (il punto stesso), quindi un punto isolato possiamo dire che è di frontiera? In tal caso, per un punto isolato non è vero che per ogni intorno abbiamo punti di A diversi dal punto stesso. Quindi un punto isolato non è di accolulazione; ma mi resta il dubbio se sia di frontiera.
Grazie!
Risposte
$x$ appartiene ad $A$ significa solo che $x$ e' elemento di $A$, non che e' interno.
Un punto di accumulazione interno non e' di frontiera: $x=0$ per $(-1,1)$.
Un punto isolato non sta nella parte interna, quindi sta nel bordo, quindi e' un punto di frontiera.
Un punto di accumulazione interno non e' di frontiera: $x=0$ per $(-1,1)$.
Un punto isolato non sta nella parte interna, quindi sta nel bordo, quindi e' un punto di frontiera.
"Luca.Lussardi":
$x$ appartiene ad $A$ significa solo che $x$ e' elemento di $A$, non che e' interno.
Ok.
"Luca.Lussardi":
Un punto di accumulazione interno non e' di frontiera: $x=0$ per $(-1,1)$.
Che un punto interno non sia di frontiera mi è chiaro, l'esempio un pò meno. Stai considerando l'insieme dei punti dato dall'asse y e analizzando il punto (-1, 1): è un punto esterno no?
"Luca.Lussardi":
Un punto isolato non sta nella parte interna, quindi sta nel bordo, quindi e' un punto di frontiera.
Ok quindi abbiamo trovato un punto di frontiera che non sia di accomulazione.
Grazie!
Ho trovato dei teoremi che fanno uso dei limiti di successioni per definire punti di accumulazione o punti interni.
Come nascono questi teoremi? Per quale motivo si fa uso delle successioni per caratterizzare degli elementi topologici di $R^n$?
1) Per esempio, viene detto che $(x_0, y_0)$ è punto di accumulazione per B $iff$ esiste una successione che appartiene a B e il cui limite è il punto $(x_0, y_0)$ stesso.
2) In un secondo enunciato invece trovo che un punto è interno a B $iff$ esistono due successioni ${a_k} in B$ e ${b_k} !in B$ tali che il limite di entrambe converge al punto stesso.
Come nascono questi teoremi? Per quale motivo si fa uso delle successioni per caratterizzare degli elementi topologici di $R^n$?
1) Per esempio, viene detto che $(x_0, y_0)$ è punto di accumulazione per B $iff$ esiste una successione che appartiene a B e il cui limite è il punto $(x_0, y_0)$ stesso.
2) In un secondo enunciato invece trovo che un punto è interno a B $iff$ esistono due successioni ${a_k} in B$ e ${b_k} !in B$ tali che il limite di entrambe converge al punto stesso.
"Luca D.":
Ho trovato dei teoremi che fanno uso dei limiti di successioni per definire punti di accumulazione o punti interni.
Come nascono questi teoremi? Per quale motivo si fa uso delle successioni per caratterizzare degli elementi topologici di $R^n$?
1) Per esempio, viene detto che $(x_0, y_0)$ è punto di accumulazione per B $iff$ esiste una successione che appartiene a B e il cui limite è il punto $(x_0, y_0)$ stesso.
2) In un secondo enunciato invece trovo che un punto è interno a B $iff$ esistono due successioni ${a_k} in B$ e ${b_k} !in B$ tali che il limite di entrambe converge al punto stesso.
dev'esserci qualche problema...
gli enunciati così riportati sono entrambi falsi
anche il modo di esprimersi: "il limite di entrambe converge"
sicuro della fonte?
"Fioravante Patrone":
dev'esserci qualche problema...
gli enunciati così riportati sono entrambi falsi
anche il modo di esprimersi: "il limite di entrambe converge"
sicuro della fonte?
No, non sono per niente sicuro della fonte.
"Fioravante Patrone":
anche il modo di esprimersi: "il limite di entrambe converge"
sicuro della fonte?
Intendevo $lim_(n to +oo) {a_k} = lim_(n to +oo) {b_k} = x$
Stavo spulciando dei vecchi appunti dove ho trovato quei due enunciati (a quanto pare errati) e così mi sono messo a sfogliare vari libri per cercare qualcosa di simile, ma non ho trovato nessun teorema inerente.
Per quello sono nati i miei dubbi e il perchè venissero tirate in ballo le successioni in questo contesto.
ok, meglio così (?)
il primo dà una caratterizzazione dei punti aderenti (non dei punti di accumulazione)
il secondo dei punti di frontiera (non dei punti interni)
quanto all'uso delle successioni, a parte il fatto che "fungono", l'idea di per sé mi sembra naturale, niente affatto strana
dopotutto le successioni convergenti servono a dare l'idea di punti che "si avvicinano" ad uno dato
quindi, cosa c'è di strano, ad esempio, nel fatto che un punto di frontiera possa essere "avvicinato" sia da punti dell'insieme che da punti del complementare? che poi si traduce appunto nella possibilità di trovare due successioni come detto nell'enunciato
ciao
il primo dà una caratterizzazione dei punti aderenti (non dei punti di accumulazione)
il secondo dei punti di frontiera (non dei punti interni)
quanto all'uso delle successioni, a parte il fatto che "fungono", l'idea di per sé mi sembra naturale, niente affatto strana
dopotutto le successioni convergenti servono a dare l'idea di punti che "si avvicinano" ad uno dato
quindi, cosa c'è di strano, ad esempio, nel fatto che un punto di frontiera possa essere "avvicinato" sia da punti dell'insieme che da punti del complementare? che poi si traduce appunto nella possibilità di trovare due successioni come detto nell'enunciato
ciao
"Fioravante Patrone":
il primo dà una caratterizzazione dei punti aderenti (non dei punti di accumulazione)
Non avendo trovato la definizione di punto aderente in nessuno dei miei testi (?), ho cercato nel forum e ho trovato una tua risposta, che cito:
"x aderente ad A vuol dire che ogni intorno di x contiene un punto di A "
Quindi la differenza da punto di accumulazione è che per il punto aderente la definizione è soddisfatta anche se l'intorno contiene solo x stesso.
Riprendo allora un'attimo il primo enunciato che avevo scritto:
"1) Per esempio, viene detto che $(x_0, y_0)$ è punto di accumulazione per B $iff$ esiste una successione che appartiene a B e il cui limite è il punto $(x_0, y_0)$ stesso."
Se prendiamo un punto isolato, esso non è di accumulazione, ma dovrebbe essere aderente; dico bene?
Quindi esisterà una successione che soddisfa l'enunciato.. potrebbe essere la successione che per ogni n assume il valore del punto stesso?
Se però noi modificassimo l'enunciato nel seguente modo (aggiungendo la condizione che la successione assuma valori diversi dal punto):
"1.2) $(x_0, y_0)$ è punto di accumulazione per B $iff$ esiste una successione ${a_k} != (x_0, y_0)$ che appartiene a B e il cui limite è il punto $(x_0, y_0)$ stesso."
Potremmo dire che in questo caso è valida per i punti di accumulazione?
"Fioravante Patrone":
il secondo dei punti di frontiera (non dei punti interni)
Certo.
Sarebbe invece possibile definire un punto interno attraverso il limite di una successione?
per il punto 1, vedo che te la cavi... 
per il punto 2, l'idea potrebbe essere che se un punto è interno non dovrebbero esserci successioni che arrivano "da fuori"
ciao
per il punto 2, l'idea potrebbe essere che se un punto è interno non dovrebbero esserci successioni che arrivano "da fuori"
ciao
"Fioravante Patrone":
per il punto 2, l'idea potrebbe essere che se un punto è interno non dovrebbero esserci successioni che arrivano "da fuori"
E una successione che arriva "da fuori" ma per $n$ maggiore di un certo $n_epsilon$ è "dentro" e poi converge al punto?
of course...
Grazie 
Ho trovato un'altra cosa che non mi torna..
"La chiusura di un insieme A è l'inseme risultante dall'unione di A e dell'insieme dei punti di accumulazione di A".
Poi viene detto:
"Si prova anche che la chiusura di A è l'unione di A e dell'insieme dei punti di frontiera di A".
Quindi punti di accumulazione = punti di frontiera? Ma abbiamo (avete) chiarito proprio in questo thread che ciò non è vero.. dove sta l'inghippo?
"La chiusura di un insieme A è l'inseme risultante dall'unione di A e dell'insieme dei punti di accumulazione di A".
Poi viene detto:
"Si prova anche che la chiusura di A è l'unione di A e dell'insieme dei punti di frontiera di A".
Quindi punti di accumulazione = punti di frontiera? Ma abbiamo (avete) chiarito proprio in questo thread che ciò non è vero.. dove sta l'inghippo?
l'inghippo?
$A \cup B = A \cup C$ non implica $B=C$
ecco dove sta...
puoi fare esempi per "vederlo"
magari $]0,1[\cup{2}$ o robe simili
$A \cup B = A \cup C$ non implica $B=C$
ecco dove sta...
puoi fare esempi per "vederlo"
magari $]0,1[\cup{2}$ o robe simili
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