Topologia di Quadriche in $P^3(RR)$
Siano $Q_1 = { [x_0,x_1,x_2,x_3] \in P^3(RR) | x_0^2 - x_1^2 = 0}$ e $Q_2 = { [x_0,x_1,x_2,x_3] \in P^3(RR) | x_0^2 + x_1^2 -x_2^2 - x_3^3= 0}$.
Volevo sapere se si possa dire qualcosa sulla topologia di queste due quadriche.
$Q_2$, se guardata in una qualunque carta affine standard, è un iperboloide iperbolico; quindi sembrerebbe che $Q_2$ sia omeomorfa al toro $S^1 times S^1$. Ma non riesco a scrivere un omeomorfismo esplicito.
$Q_1$ è l'unione di due piani proiettivi di $P^3(RR)$ che si intersecano in una retta proiettiva; quindi sembrerebbe che $Q_1$ sia omeomorfa alla sfera $S^2$ che ha un equatore quozientato con la relazione di antipodalità.
Qualcuno sa trovare per $Q_1$ uno spazio ad esso omeomorfo un po' più umano? Si può calcolare il gruppo fondamentale di $Q_1$?
Last but not least: qualcuno sa consigliarmi un libro in cui vengano classificate topologicamente le coniche e le quadriche proiettive reali e complesse?
Volevo sapere se si possa dire qualcosa sulla topologia di queste due quadriche.
$Q_2$, se guardata in una qualunque carta affine standard, è un iperboloide iperbolico; quindi sembrerebbe che $Q_2$ sia omeomorfa al toro $S^1 times S^1$. Ma non riesco a scrivere un omeomorfismo esplicito.
$Q_1$ è l'unione di due piani proiettivi di $P^3(RR)$ che si intersecano in una retta proiettiva; quindi sembrerebbe che $Q_1$ sia omeomorfa alla sfera $S^2$ che ha un equatore quozientato con la relazione di antipodalità.
Qualcuno sa trovare per $Q_1$ uno spazio ad esso omeomorfo un po' più umano? Si può calcolare il gruppo fondamentale di $Q_1$?
Last but not least: qualcuno sa consigliarmi un libro in cui vengano classificate topologicamente le coniche e le quadriche proiettive reali e complesse?
Risposte
Si consideri la quadrica $Q_3 = \{ [x_0, x_1, x_2,x_3] \in \mathbb{P}^3 (\mathbb{R}) | x_0 x_1 - x_2 x_3 = 0 \}$
Si vede che le quadriche $Q_2$ e $Q_3$ sono proiettivamente equivalenti perchè le matrici associate sono congruenti, visto che hanno la stessa segnatura. Quindi basta studiare la topologia di $Q_3$.
Considero la mappa
$f: \mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \times \mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \rightarrow Q_3$
$( \ [a,b] \ , \ [c,d] \ ) \mapsto [ac,bd,ad,bc]$
essa è ben definita, continua e chiusa ($\mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \times \mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ è compatto e $Q_3$ è T2).
Il punto è $f$ è bigettiva?? ma non riesco a dimostrarlo..
Si vede che le quadriche $Q_2$ e $Q_3$ sono proiettivamente equivalenti perchè le matrici associate sono congruenti, visto che hanno la stessa segnatura. Quindi basta studiare la topologia di $Q_3$.
Considero la mappa
$f: \mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \times \mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \rightarrow Q_3$
$( \ [a,b] \ , \ [c,d] \ ) \mapsto [ac,bd,ad,bc]$
essa è ben definita, continua e chiusa ($\mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \times \mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ è compatto e $Q_3$ è T2).
Il punto è $f$ è bigettiva?? ma non riesco a dimostrarlo..
in entrambi i $\mathbb{P}^1$ un coordinata deve essere diversa da zero, supponiamo che sia la prima per entrambi allora la $f: ( \ [1,b] \ , \ [1,d] \ )->[1,d,ad,b]$ è iniettiva, analogo per gli altri aperti.
prendi un punto sulla quadrica, $x_0x_1-x_2x_3=0$ significa che la matrice $((x_0,x_2),(x_3,x_1))$ ha rango 1 (supponiamo che la prima riga sia non nulla) allora esiste $lambda$ tale che $(x_3,x_1)=lambda*(x_0,x_2)$ il punto $( \ [1,lambda] \ , \ [x_0,x_2] \ ) ->[x_0,lambda*x_2,x_2,lambda*x_0)]=[x_0,x_1,x_2,x_3]$
prendi un punto sulla quadrica, $x_0x_1-x_2x_3=0$ significa che la matrice $((x_0,x_2),(x_3,x_1))$ ha rango 1 (supponiamo che la prima riga sia non nulla) allora esiste $lambda$ tale che $(x_3,x_1)=lambda*(x_0,x_2)$ il punto $( \ [1,lambda] \ , \ [x_0,x_2] \ ) ->[x_0,lambda*x_2,x_2,lambda*x_0)]=[x_0,x_1,x_2,x_3]$
Sembra che funzioni.. Grazie rubik!!
E per la quadrica $Q_1$??
E per la quadrica $Q_1$??
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