Topologia di Frechet
Ciao,
ho qualche problema con la topologia di Frechet, nel senso che non riesco a "visualizzarla".
Questo mi porta ad incontrare difficoltà nella risoluzione del seguente (probabilmente banale) problema:
Nell'insieme della retta reale con la topologia di Frechet definire intX, extX e frX con X dato dai seguenti insiemi
(0,1)
[0,1)
(0,1]
[0,1]
Gli aperti nella topologia di Frechet sono i sottoinsiemi S di R tali che R-S è composto da un numero finito di punti.
E qui mi inchiodo
Qualsisi chiarimento/supporto/commento è il benvenuto
J.
ho qualche problema con la topologia di Frechet, nel senso che non riesco a "visualizzarla".
Questo mi porta ad incontrare difficoltà nella risoluzione del seguente (probabilmente banale) problema:
Nell'insieme della retta reale con la topologia di Frechet definire intX, extX e frX con X dato dai seguenti insiemi
(0,1)
[0,1)
(0,1]
[0,1]
Gli aperti nella topologia di Frechet sono i sottoinsiemi S di R tali che R-S è composto da un numero finito di punti.
E qui mi inchiodo
Qualsisi chiarimento/supporto/commento è il benvenuto
J.
Risposte
cosa intendi per extX?
per quanto riguarda la parte interna ricorda che questa è definita come il più grande aperto contenuto nell'insieme.
quindi ad esempio quale sarà il più grande aperto contenuto in $(0,1)$ ?
per quanto riguarda la parte interna ricorda che questa è definita come il più grande aperto contenuto nell'insieme.
quindi ad esempio quale sarà il più grande aperto contenuto in $(0,1)$ ?
Se ti può semplificare la vita, anzi, l'esistenza: la topologia di Fréchet \(\mathcal{T}\) ai più è nota come topologia cofinita e gl'insiemi chiusi su un insieme \(S\) secondo essa sono tutti e soli i sottoinsiemi finiti di \(S\)! 
"j18eos":
esemplificare
Volevi dire "semplificare", immagino... "Esemplificare" significa qualcosa cosa "portare esempi a spiegazione di", che io sappia.
Sì esatto, ho scritto di fretta! Grazie. 
Prima di tutto ci tengo a ricordare che l'insieme vuoto e tutto \(\mathbb R\) sono sia chiusi che aperti. E' importante ricordarsi che ci sono anche loro. In effetti, siccome tutti gli insiemi che devi prendere in considerazione hanno un numero infinito di punti, l'unico chiuso che li contiene, cioè la loro chiusura, è proprio \(\mathbb R\). D'altra parte, hai già descritto tutti gli aperti: sono tutti uguali a \(\mathbb R\) meno un numero finito di punti o all'insieme vuoto. E' possibile avere un aperto non vuoto contenuto in quegli insiemi? Se sì, qual'è il più grosso? La frontiera sarà a questo punto uguale alla chiusura meno l'interno.
Esiste anche un modo alternativo di descrivere la topologia cofinita nel caso di \(\mathbb R\) (nel senso che quest'altra topologia corrisponde a quella di Fréchet in questo caso particolare). La topologia di Zariski è la topologia in cui i chiusi corrispondono agli zeri comuni ad un insieme di polinomi. Nel caso della retta reale, ci si può limitare a considerare un solo polinomio (l'anello dei polinomi reali ad una sola indeterminata è un PID) e l'insieme dei suoi zeri è finito. E' interessante come caratterizzazione perché ci dice che la topologia cofinita della retta reale è la topologia più fine per cui i polinomi sono funzioni continue.
Esiste anche un modo alternativo di descrivere la topologia cofinita nel caso di \(\mathbb R\) (nel senso che quest'altra topologia corrisponde a quella di Fréchet in questo caso particolare). La topologia di Zariski è la topologia in cui i chiusi corrispondono agli zeri comuni ad un insieme di polinomi. Nel caso della retta reale, ci si può limitare a considerare un solo polinomio (l'anello dei polinomi reali ad una sola indeterminata è un PID) e l'insieme dei suoi zeri è finito. E' interessante come caratterizzazione perché ci dice che la topologia cofinita della retta reale è la topologia più fine per cui i polinomi sono funzioni continue.
scusate il ritardo nella risposta, grazie a tutti per gli interventi !!
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