Topologia di $D(Omega)$
Spesso quando si introduce la teoria delle distribuzioni si fa riferimento ad una topologia (di Hausdorff) di $C_0^(oo)(Omega)$ (o di $D(Omega)$ che dir si voglia) , per $Omega$ aperto di $RR^n$, che non è indotta da una metrica. Per quella topologia si definisce una distribuzione come un funzionale lineare continuo eccetera eccetera.
Sarei curioso di sapere dove potrei trovare una spiegazione comprensibile e dettagliata. (Possibilmente in italiano o in inglese).
Grazie in ogni caso.
Ciao a tutti.
EDIT: Errore di battitura infelice!!
Sarei curioso di sapere dove potrei trovare una spiegazione comprensibile e dettagliata. (Possibilmente in italiano o in inglese).
Grazie in ogni caso.
Ciao a tutti.
EDIT: Errore di battitura infelice!!
Risposte
A quel che ne so, le topologie possibili sono più di una (associate però allo stesso concetto di convergenza di una successione), e sono denotate con le prime lettere dell'alfabeto greco.
Ma non ti so dire di più.
Ma non ti so dire di più.
Scusa amel, ma con $C_0(Omega)$ intendi lo spazio delle funzioni a supporto compatto in $Omega$ (cioè $C_0(Omega)={f in RR^Omega:quad "supp"f " è compatto e " subset Omega}$) oppure quello delle funzioni continue in $Omega$ e infinitesime sulla frontiera di $Omega$ (ossia $C_0(Omega)={fin RR^Omega: quad AA yin \partial Omega, lim_(\stackrel{xto y}{x in Omega}) f(x)=0}$)?
Lo chiedo perchè per il primo dei due uso di solito il simbolo $C_c(Omega)$.
Ad ogni modo, si può mettere su $C(Omega)$ la topologia della convergenza uniforme sui compatti: questa topologia è metrizzabile (con distanza compatibile con le operazioni interne ed esterne di $C(Omega)$ ed invariante per traslazioni) e lo spazio metrico è completo; tuttavia esso non può essere strutturato come $RR$-spazio di Banach perchè la metrica non è indotta da alcuna norma. Per la prova della metrizzabilità puoi ad esempio vedere Cartan, Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables, Dover Publications, cap. V par. 1.1 ed 1.3 (si parla di funzioni complesse di variabili complesse ma, mutatis mutandis, i risultati si possono enunciare per le funzioni reali di variabili reali*).
Ovviamente puoi usare una restrizione della distanza definita in $C(Omega)$ per indurre su $C_0(Omega)$ la struttura di spazio metrico, però non mi pare che così facendo si riesca a conservare la completezza...
Vale così, come idea estemporanea, anche perchè, non avendo usato lo spazio $C_0(Omega)$ per introdurre le distribuzioni, non mi sono mai trovato ad evere a che fare con questioni topologiche di questo livello (la mia prof. ha introdotto le distribuzioni come funzionali lineari su $C_c^oo(Omega)=C_c(Omega)cap C^oo(Omega)$, il quale ha la sua bella struttura di spazio normato con la norma del massimo).
Per un aiuto più consistente potresti chiedere ad Archimede Pitagorico o, mal che vada, all'enciclopedico Pico de Paperis!
* Od anche per funzioni reali definite in spazi topologici in cui per ogni aperto $Omega$ esiste una successione di compatti esauriente $Omega$ (ossia una successione strettamente crescente di compatti $(K_n)$ tale che $AAn in NN, K_nsubset Omega$ ed $Omega=cup_n K_n$).
Lo chiedo perchè per il primo dei due uso di solito il simbolo $C_c(Omega)$.
Ad ogni modo, si può mettere su $C(Omega)$ la topologia della convergenza uniforme sui compatti: questa topologia è metrizzabile (con distanza compatibile con le operazioni interne ed esterne di $C(Omega)$ ed invariante per traslazioni) e lo spazio metrico è completo; tuttavia esso non può essere strutturato come $RR$-spazio di Banach perchè la metrica non è indotta da alcuna norma. Per la prova della metrizzabilità puoi ad esempio vedere Cartan, Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables, Dover Publications, cap. V par. 1.1 ed 1.3 (si parla di funzioni complesse di variabili complesse ma, mutatis mutandis, i risultati si possono enunciare per le funzioni reali di variabili reali*).
Ovviamente puoi usare una restrizione della distanza definita in $C(Omega)$ per indurre su $C_0(Omega)$ la struttura di spazio metrico, però non mi pare che così facendo si riesca a conservare la completezza...
Vale così, come idea estemporanea, anche perchè, non avendo usato lo spazio $C_0(Omega)$ per introdurre le distribuzioni, non mi sono mai trovato ad evere a che fare con questioni topologiche di questo livello (la mia prof. ha introdotto le distribuzioni come funzionali lineari su $C_c^oo(Omega)=C_c(Omega)cap C^oo(Omega)$, il quale ha la sua bella struttura di spazio normato con la norma del massimo).
Per un aiuto più consistente potresti chiedere ad Archimede Pitagorico o, mal che vada, all'enciclopedico Pico de Paperis!
* Od anche per funzioni reali definite in spazi topologici in cui per ogni aperto $Omega$ esiste una successione di compatti esauriente $Omega$ (ossia una successione strettamente crescente di compatti $(K_n)$ tale che $AAn in NN, K_nsubset Omega$ ed $Omega=cup_n K_n$).
"gugo82":
Per un aiuto più consistente potresti chiedere ad Archimede Pitagorico o, mal che vada, all'enciclopedico Pico de Paperis!
Certo che farebbe comodo avere un lontano parente tipo il prof. von Drake...
Scherzi a parte, grazie intanto per le risposte.
Intanto ho notato che ho battuto male: volevo scrivere $C_0^(oo) (Omega)$ invece di $C_0(Omega)$. Chiedo scusa moltissimo per avervi indotto in confusione!
Dunque, la questione della definizione di $C_0^(oo) (Omega)$ mi ha sempre dato dei dubbi per la verità.
Io ho sempre inteso $C_0^(oo) (Omega)=D(Omega)$, ovvero lo spazio delle funzioni test, come ci hanno sempre detto i nostri professori di analisi o anche come certi testi, tra cui il Gilardi, Analisi tre e il Pagani - Salsa, Equazioni a derivate parziali.
Ho menzionato in particolare quest'ultimo testo perchè lì si parla esplicitamente della topologia di $C_0^(oo)(Omega)$.
Prima, infatti, definisce la convergenza di successioni di funzioni in $C_0^(oo)(Omega)$ dicendo che:
$(phi_n)_(n in NN)$ converge a $phi$ in $C_0^(oo) (Omega)$ se:
- $D^(alpha) phi_n -> D^(alpha) phi $ uniformemente su $Omega$ per ogni $alpha =(alpha_1,...,alpha_n) in NN^n$ multiindice (cioè per tutte le derivate di ogni ordine)
- esiste un compatto $K sub Omega$ che contiene tutti i supporti di tutti i $phi_k$
Dopo di ciò il testo afferma che la topologia che ne risulta è una topologia di Hausdorff. Però non spiega come è fatta.
L'unica referenza che finora ho trovato il Functional Analysis di Rudin, però lo trovo un po' complicato. Mi chiedevo se qualcuno era a conoscenza di un testo che parlasse dello stesso argomento in questione.
Grazie a tutti e mi scuso ancora per avere dimenticato quell'$oo$ in $C_0(Omega)$ che faceva sembrare la mia richiesta più assurda di quella che è.
Ciao.
"amel":
Spesso quando si introduce la teoria delle distribuzioni si fa riferimento ad una topologia (di Hausdorff) di $C_0^(oo)(Omega)$ (o di $D(Omega)$ che dir si voglia) , per $Omega$ aperto di $RR^n$, che non è indotta da una metrica. Per quella topologia si definisce una distribuzione come un funzionale lineare continuo eccetera eccetera.
Sarei curioso di sapere dove potrei trovare una spiegazione comprensibile e dettagliata. (Possibilmente in italiano o in inglese).
Grazie in ogni caso.
Ciao a tutti.
EDIT: Errore di battitura infelice!!
Un testo molto carino su questi argomenti è Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels di Treves.
Grazie mille per la risposta!
Entro un paio di giorni vado in facoltà e lo vado a vedere in biblioteca.
Non ti posso dire "a buon rendere" perchè ne sai a pacchi
Ciao.
Entro un paio di giorni vado in facoltà e lo vado a vedere in biblioteca.
Non ti posso dire "a buon rendere" perchè ne sai a pacchi
Ciao.
Ancora un po' ad occhio vorrei suggerire che la nozione di convergenza in $C_c^oo(Omega)$ che hai segnalato mi pare sia indotta dalla famiglia di seminorme il cui elemento generico è quello definito dall'assegnazione
$AAf in C_c^oo(Omega), p_alpha(f)=||(\partial^(|alpha|)f)/(\partial x^alpha)||_(L^oo(Omega))$,
ove $alpha in NN^n$ è un multiindice: ciò significa che la famiglia $S={p_alpha^(-1)([0,epsilon[)}_{epsilon>0 " ed " alpha in NN^n}$ gode delle proprietà di sottobase per una (unica) topologia di $C_c^oo(Omega)$ la quale dovrebbe indurre la nozione di convergenza che hai introdotto.
Ovviamente è tutto da verificare, non sono sicurissimo della correttezza di quanto ho detto.
Meglio seguire il consiglio della Tigre della Malesia e procurarti il libro in biblioteca!
$AAf in C_c^oo(Omega), p_alpha(f)=||(\partial^(|alpha|)f)/(\partial x^alpha)||_(L^oo(Omega))$,
ove $alpha in NN^n$ è un multiindice: ciò significa che la famiglia $S={p_alpha^(-1)([0,epsilon[)}_{epsilon>0 " ed " alpha in NN^n}$ gode delle proprietà di sottobase per una (unica) topologia di $C_c^oo(Omega)$ la quale dovrebbe indurre la nozione di convergenza che hai introdotto.
Ovviamente è tutto da verificare, non sono sicurissimo della correttezza di quanto ho detto.
Meglio seguire il consiglio della Tigre della Malesia e procurarti il libro in biblioteca!
Ora che ci penso, anche sul Taylor PDE 1 c'è la def della topologia, quelle che citavo io mi sa che sono le possibili topologie sulle distribuzioni che inducono la stessa nozione di continuità di un funzionale.. 
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