Topologia dell'unione disgiunta e funzione continua
Ciao a tutti, non riesco a venirne a una con questa dimostrazione lasciata all'inizio del corso (dopo aver fatto solo la nozione di spazio topologico e qualche definizione basilare su funzioni continue) e che sul mio libro di testo(Manetti) non trovo
Sia ${X_i | i in I}$ una famiglia di spazi topologici e si consideri il diagramma (l'ho riportato in foto). Dimostrare che $AA {f_i:X_i->Y}$, $f_i$ continue, esiste un'unica $f$ che fa commutare tutti i triangoli, cioè $f°J_i=f_i$ $AA i$.
Innanzitutto penso che $f$ vada dallo spazio topologico dell'unione disgiunta a valori in $Y$...corretto?
Ora dovrei dimostrare che presi degli aperti in $Y$ la loro controimmagine nello spazio dell'unione disgiunta è un aperto.
Ho capito che posso tornare "indietro" perché le $J_i$ sono continue ma non riesco a capire poi come, probabilmente usando la definizione di topologia dell'unione disgiunta, dimostrare che $f$ è continua.
Per dimostrare l'unicità di $f$ invece non ho davvero idea su come procedere!
Capisco che il discorso è complicato, ma qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie
Sia ${X_i | i in I}$ una famiglia di spazi topologici e si consideri il diagramma (l'ho riportato in foto). Dimostrare che $AA {f_i:X_i->Y}$, $f_i$ continue, esiste un'unica $f$ che fa commutare tutti i triangoli, cioè $f°J_i=f_i$ $AA i$.
Innanzitutto penso che $f$ vada dallo spazio topologico dell'unione disgiunta a valori in $Y$...corretto?
Ora dovrei dimostrare che presi degli aperti in $Y$ la loro controimmagine nello spazio dell'unione disgiunta è un aperto.
Ho capito che posso tornare "indietro" perché le $J_i$ sono continue ma non riesco a capire poi come, probabilmente usando la definizione di topologia dell'unione disgiunta, dimostrare che $f$ è continua.
Per dimostrare l'unicità di $f$ invece non ho davvero idea su come procedere!
Capisco che il discorso è complicato, ma qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie
Risposte
Non mi ricordo come definisce Manetti la topologia su \(\coprod_i X_i\); prova a cercare tra i miei post, ché credo di aver fatta una domanda simile in passato.
P.s. La punta della freccia verde è verso \(Y\)!
P.s. La punta della freccia verde è verso \(Y\)!
Quindi la funzione $f$ va da dall'unione disgiunta degli $X_i$ a valore in $Y$ come da me detto no?
P.S.: come cerco i tuoi post? Avrei proprio bisogno di capire questa dimostrazione
P.S.: come cerco i tuoi post? Avrei proprio bisogno di capire questa dimostrazione
"marco2132k":
Non mi ricordo come definisce Manetti la topologia su \(\coprod_i X_i\); prova a cercare tra i miei post, ché credo di aver fatta una domanda simile in passato.
P.s. La punta della freccia verde è verso \(Y\)!
Ciao, ho trovato come fare e penso che ti riferissi al tuo post del 12/09/2019.
Ho letto la conversione con vit85, però non ho trovato la risposta alla mia domanda...
Magari sono io che mi sono perso...ma non ho visto la dimostrazione dell'unicità e della continuità di $f$
Grazie
Ma sai dimostrare che il diagramma qui commuta?
È facile definire \( f \): deve essere
\[
\require{mathtools}\coprod_iX_i\ni (x,i)\overset{f}{\mapsto}f_i(x)\in Y
\] no?
È facile definire \( f \): deve essere
\[
\require{mathtools}\coprod_iX_i\ni (x,i)\overset{f}{\mapsto}f_i(x)\in Y
\] no?
Che commuta no lo so dimostrare! Anche perché ci è stato data solo questa definizione di "commuta" in merito a questo esercizio!
A quanto ho capito, considerando il mio grafico dire che $f$ è continua dovrebbe essere banale ma io non ho capito il perché!
Per dire che $f$ è continua dovrei dimostrare che presi gli aperti $A$ in $Y$ allora $f^-1(A)$ è aperto.
Ora so che le $J_i$ sono continue e anche le $f_i$ ma non ho capito cosa si intende con "poter tornare indietro" e dunque dimostrare la tesi. Cioè se parto dagli aperti $A$ di $Y$ so che $f_i^-1(A)=X_i$ è aperto perché $f_i$ è continua ma poi non so come dimostrare la parte mancante della tesi, cioè come dimostro che $J_i$ mi manda aperti in aperti? Sempre se questo è il ragionamento corretto...
Poi va dimostrata l'unicità e lì davvero non so da dove iniziare.
A quanto ho capito, considerando il mio grafico dire che $f$ è continua dovrebbe essere banale ma io non ho capito il perché!
Per dire che $f$ è continua dovrei dimostrare che presi gli aperti $A$ in $Y$ allora $f^-1(A)$ è aperto.
Ora so che le $J_i$ sono continue e anche le $f_i$ ma non ho capito cosa si intende con "poter tornare indietro" e dunque dimostrare la tesi. Cioè se parto dagli aperti $A$ di $Y$ so che $f_i^-1(A)=X_i$ è aperto perché $f_i$ è continua ma poi non so come dimostrare la parte mancante della tesi, cioè come dimostro che $J_i$ mi manda aperti in aperti? Sempre se questo è il ragionamento corretto...
Poi va dimostrata l'unicità e lì davvero non so da dove iniziare.
L'unico scopo di questo esercizio è il farti pensare alle definizioni degli oggetti in gioco. Le cose che ti servono sono:
1) La topologia su \(\coprod_iX_i\). Un insieme \(U\subseteq \coprod_iX_i\) è aperto se e solo se $f_i^{-1}(U)$ è aperto in $X_i$ per ogni $i$, dove \(f_i\colon X_i\to\coprod_iX_i\) è l'iniezione canonica.
2) Una mappa di spazi topologici $g: A\to B$ è continua se e solo se per ogni $U$ aperto in $B$, $f^{-1}(U)$ è aperto in $A$.
3) Se $u: X\to Y$, $v: Y\to Z$ e $w: X \to Z$ sono mappe qualsiasi (che quindi formano un diagramma come il tuo), diciamo che il diagramma commuta se $w=v\circ u$.
Ora devi solamente mettere insieme le tre definizioni nel tuo contesto.
1) La topologia su \(\coprod_iX_i\). Un insieme \(U\subseteq \coprod_iX_i\) è aperto se e solo se $f_i^{-1}(U)$ è aperto in $X_i$ per ogni $i$, dove \(f_i\colon X_i\to\coprod_iX_i\) è l'iniezione canonica.
2) Una mappa di spazi topologici $g: A\to B$ è continua se e solo se per ogni $U$ aperto in $B$, $f^{-1}(U)$ è aperto in $A$.
3) Se $u: X\to Y$, $v: Y\to Z$ e $w: X \to Z$ sono mappe qualsiasi (che quindi formano un diagramma come il tuo), diciamo che il diagramma commuta se $w=v\circ u$.
Ora devi solamente mettere insieme le tre definizioni nel tuo contesto.
Senti un po'...
Quello che l'esercizio vuole pretendere da te è questo: prova che il coprodotto di una famiglia di spazi topologici è un coprodotto nella categoria \(\mathbf{Top}\). Anche se non sai cos'è una categoria in questo caso è semplicissimo: è un mondo popolato da spazi topologici e funzioni continue; insomma quello del tuo discorso! Ora però considera questo: uno spazio topologico è un insieme a cui gli è stato affiancato una topologia; una funzione continua è, appunto, una funzione di insiemi con una proprietà in più. Capisci ora che le cose stanno così:
Quello che l'esercizio vuole pretendere da te è questo: prova che il coprodotto di una famiglia di spazi topologici è un coprodotto nella categoria \(\mathbf{Top}\). Anche se non sai cos'è una categoria in questo caso è semplicissimo: è un mondo popolato da spazi topologici e funzioni continue; insomma quello del tuo discorso! Ora però considera questo: uno spazio topologico è un insieme a cui gli è stato affiancato una topologia; una funzione continua è, appunto, una funzione di insiemi con una proprietà in più. Capisci ora che le cose stanno così:
[*:12ljjoxn] il fatto che esiste un'unica funzione \(f\) tale che blablabla... è un fatto puramente set-teoretico: rendi la cosa una questione di insiemi e funzioni di insiemi[/*:m:12ljjoxn]
[*:12ljjoxn] il fatto che \(f\) sia proprio una funzione continua, è questione di quello che sai di topologia: studi com'è fatta la topologia coprodotto e fine.[/*:m:12ljjoxn][/list:u:12ljjoxn]
Puoi fare una cosa analoga se ti interessa col prodotto di spazi topologici (tipo questo, non voglio farmi pubblicità).
Poi va dimostrata l'unicità e lì davvero non so da dove iniziare.Tutte le dimostrazioni di unicità si fanno per assurdo. Supponiamo ce ne siano due; oh, no, ci eravamo sbagliati, quelle due sono uguali.
"hydro":
L'unico scopo di questo esercizio è il farti pensare alle definizioni degli oggetti in gioco. Le cose che ti servono sono:
1) La topologia su \(\coprod_iX_i\). Un insieme \(U\subseteq \coprod_iX_i\) è aperto se e solo se $f_i^{-1}(U)$ è aperto in $X_i$ per ogni $i$, dove \(f_i\colon X_i\to\coprod_iX_i\) è l'iniezione canonica.
2) Una mappa di spazi topologici $g: A\to B$ è continua se e solo se per ogni $U$ aperto in $B$, $f^{-1}(U)$ è aperto in $A$.
3) Se $u: X\to Y$, $v: Y\to Z$ e $w: X \to Z$ sono mappe qualsiasi (che quindi formano un diagramma come il tuo), diciamo che il diagramma commuta se $w=v\circ u$.
Ora devi solamente mettere insieme le tre definizioni nel tuo contesto.
Perfetto, allora queste 3 definizioni le ritrovo molto simili anche io, tuttavia non riesco a venirne fuori!
Come ho scritto sopra conosco che $J_i$ sono continue e quindi preso un $A$ aperto nell'unione disgiunta ho che $J_i^-1(A)=A nn X_i$ è un aperto.
Ora però non riesco a "trovare" quale sia l'"illuminazione" che mi permette di dire che $f$ sia continua (e poi unica).
Grazie
"solaàl":Poi va dimostrata l'unicità e lì davvero non so da dove iniziare.Tutte le dimostrazioni di unicità si fanno per assurdo. Supponiamo ce ne siano due; oh, no, ci eravamo sbagliati, quelle due sono uguali.
Immaginavo si facesse cosi, ma non riesco a trovare l'idea iniziale che porta poi all'assurdo!
Lascia un attimo perdere la continuità. Pensa a come dev'essere fatta $f$. Un elemento di \(\coprod_iX_i\) è, per definizione, un elemento $x_i$ che sta in un $X_i$. Qual è l'UNICO valore che può assumere $f$ in $x_i$? Ricordati che i triangoli devono commutare, che vuol dire che $f_i=f\circ J_i$.
Oddio, sperando di aver capito la tua domanda...
Dovrebbe essere $f(x)=f_i(x)$
Dovrebbe essere $f(x)=f_i(x)$
Perché per me è necessario capire questi concetti e dimostrazioni iniziali ma non ci arrivo...
Ho riprovato ancora a pensare ai tre elementi fondamentali che mi sono stati suggeriti ma non riesco comunque a dimostrare la continuità e l'unicità di $f$.
Grazie
Ho riprovato ancora a pensare ai tre elementi fondamentali che mi sono stati suggeriti ma non riesco comunque a dimostrare la continuità e l'unicità di $f$.
Grazie
"Aletzunny":
Oddio, sperando di aver capito la tua domanda...
Dovrebbe essere $f(x)=f_i(x)$
Mi sembra che il tuo sia più un problema di familiarità con le nozioni di base di insiemi e funzioni piuttosto che con la topologia. Se capisci il perchè della risposta che hai dato qua, capisci anche il resto dell'esercizio. Il fatto che esiste una sola $f$ è praticamente tautologico, non ha nulla a che vedere con la topologia. Sei sicuro di essere a tuo agio con le definizioni di funzione tra insiemi e di composizione di funzioni?
Bhe ma la risposta che ti ho dato è stata molto "impulsiva" e mi è stata suggerita dal tuo ragionamento precedente...
Che $f$ debba essere unica sembra dipendere proprio da come è definita l'unione disgiunta e gli $X_i$ nel tuo post..ma magari sbaglio
La continuità invece proprio non mi viene "logica" e l'unico ragionamento è quello che ho scritto qualche post sopra ma che pare errato
Che $f$ debba essere unica sembra dipendere proprio da come è definita l'unione disgiunta e gli $X_i$ nel tuo post..ma magari sbaglio
La continuità invece proprio non mi viene "logica" e l'unico ragionamento è quello che ho scritto qualche post sopra ma che pare errato
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