Topologia: connessione

[etta.nico]

Sia $r in ]0, oo[$.
1)Dimostrare che $RR \\ [-r, r] $ è costituito da due componenti connesse.
2)Se $ n \geq 2$ allora $RR^n \\ B(0,r]$ è connesso per archi.

Io oltre a dire che uno spazio topologico X è connesso se gli unici sottoinsiemi di $X$ che sono contemporaneamenti chiusi e aperti sono $ O/ $ e $X$ e che in $RR$ i sottoinsiemi connessi sono i suoi intervalli, non riesco ad andare molto avanti...
qualcuno sa aiutarmi?

[dissonance]

[mod="dissonance"]Sposto in Geometria.[/mod]

[angus89]

Ti do un hint, se non è sufficiente ti scrivo la soluzione.

Prova a dimostrare che $X$ è connesso se e soltanto se non è esprimibile come unione di due aperti disgiunti (non banali), cioè

$X$ è connesso se $X=A \cup B$ con $A,B$ aperti disgiunti, implica $A$ è vuoto oppure $A=X$


Prova poi a concludere usando questo fatto.

[etta.nico]

intanto chiedo scusa se ho sbagliato luogo, ma io sto studiando queste cose per l'esame di analisi.. quindi tutte le questioni di topologia le dovro' postare in geometria?

Quindi
$RR \ [-r,r] = ] -oo, -r[ uu ]r, oo[ $
$ ] -oo, -r[ = A uu B$ $=>$ ... ? a me verrebbe da dire e' un intervallo quindi e' connesso.. ma mi sembra troppo facile cosi..
Cosa dovrei fare?