[TOPOLOGIA] composizione di rivestimenti
Buonasera a tutti, avrei bisogno di aiuto per dimostrare un fatto di Topologia:
Premetto che per me un rivestimento \(\displaystyle p:\tilde X\rightarrow X \) è un'applicazione continua e suriettiva tale che, per ogni \(\displaystyle x\in X \), esiste un intorno aperto \(\displaystyle U \) di \(\displaystyle x \) tale che \(\displaystyle p^{-1}(U) \) sia unione di aperti disgiunti, ognuno dei quali è omeomorfo ad \(\displaystyle U \) tramite \(\displaystyle p \) (non sto facendo nessuna ipotesi di connessione, connessione per archi, connessione locale, connessione per archi locale, sugli spazi in gioco, come ho visto fare in alcuni testi)
Devo dimostrare il seguente teorema:
siano \(\displaystyle p: \tilde X\rightarrow X,q:X\rightarrow Y \) due rivestimenti: se \(\displaystyle \forall y \in Y \) esiste un intorno aperto di \(\displaystyle y \) che sia semplicemente connesso, allora \(\displaystyle q\circ p \) è un rivestimento.
Non so bene da dove cominciare; in un esercizio precedente ho dimostrato che il teorema vale anche se, anzichè la semplice connessione di qualche intorno di \(\displaystyle y \), richiediamo che \(\displaystyle q^{-1}(y) \) sia finito per ogni \(\displaystyle y \in Y \), non so se ci sia qualche correlazione...non so proprio da dove partire. Mi date un indizio? NON la soluzione completa, a meno che in spoiler
Grazie
Marco
Premetto che per me un rivestimento \(\displaystyle p:\tilde X\rightarrow X \) è un'applicazione continua e suriettiva tale che, per ogni \(\displaystyle x\in X \), esiste un intorno aperto \(\displaystyle U \) di \(\displaystyle x \) tale che \(\displaystyle p^{-1}(U) \) sia unione di aperti disgiunti, ognuno dei quali è omeomorfo ad \(\displaystyle U \) tramite \(\displaystyle p \) (non sto facendo nessuna ipotesi di connessione, connessione per archi, connessione locale, connessione per archi locale, sugli spazi in gioco, come ho visto fare in alcuni testi)
Devo dimostrare il seguente teorema:
siano \(\displaystyle p: \tilde X\rightarrow X,q:X\rightarrow Y \) due rivestimenti: se \(\displaystyle \forall y \in Y \) esiste un intorno aperto di \(\displaystyle y \) che sia semplicemente connesso, allora \(\displaystyle q\circ p \) è un rivestimento.
Non so bene da dove cominciare; in un esercizio precedente ho dimostrato che il teorema vale anche se, anzichè la semplice connessione di qualche intorno di \(\displaystyle y \), richiediamo che \(\displaystyle q^{-1}(y) \) sia finito per ogni \(\displaystyle y \in Y \), non so se ci sia qualche correlazione...non so proprio da dove partire. Mi date un indizio? NON la soluzione completa, a meno che in spoiler
Grazie
Marco
Risposte
UP
Inizia dalla continuità 
un pò troppo vago forse 
che la composizione delle funzioni continue e suriettive è continua e suriettiva è chiaro. Mi resta da dimostrare che per ogni elemento \(\displaystyle y\in Y \) esiste un intorno aperto ben rivestito da \(\displaystyle q \circ p \). Se riuscissi a dimostrare che esiste un intorno aperto di \(\displaystyle y \) tale che la sua controimmagine tramite \(\displaystyle q \) è formata da aperti ben rivestiti da \(\displaystyle p \) avrei finito, questa è una buona strada?
che la composizione delle funzioni continue e suriettive è continua e suriettiva è chiaro. Mi resta da dimostrare che per ogni elemento \(\displaystyle y\in Y \) esiste un intorno aperto ben rivestito da \(\displaystyle q \circ p \). Se riuscissi a dimostrare che esiste un intorno aperto di \(\displaystyle y \) tale che la sua controimmagine tramite \(\displaystyle q \) è formata da aperti ben rivestiti da \(\displaystyle p \) avrei finito, questa è una buona strada?
Alla fine è quello che devi dimostrare... Inizia a ragionare col rivestimento definito con \(q\), poi passi a \(p\) e vedi come sfruttare l'ipotesi aggiuntiva! 
Mi sono messo in testa che vale il seguente lemma (poi attraverso questo si dimostra facilmente il teorema):
Lemma: Sia \(\displaystyle p:\tilde X \rightarrow X \) un rivestimento, con \(\displaystyle X \) semplicemente connesso, e sia \(\displaystyle \tilde C \) una qualunque componente connessa per archi di \(\displaystyle \tilde X \). Allora \(\displaystyle p_{|\tilde C} :\tilde C\rightarrow X \) è un omeomorfismo (e quindi \(\displaystyle X \) è ben ricoperto da \(\displaystyle p \) e \(\displaystyle \tilde C \) è semplicemente connesso).
Ho dimostrato l'iniettività e la suriettività della restrizione di \(\displaystyle p \) a \(\displaystyle \tilde C \) e mi ero messo in testa di mostrare che era un omeomorfismo sfruttando il fatto che \(\displaystyle p \) fosse aperta...il punto è che è vero che \(\displaystyle p \) ristretta ad un aperto è aperta, ma non è vero in generale che \(\displaystyle \tilde C \) è aperta, non so se le componenti connesse sono finite o infinite...tutto inutile?
Lemma: Sia \(\displaystyle p:\tilde X \rightarrow X \) un rivestimento, con \(\displaystyle X \) semplicemente connesso, e sia \(\displaystyle \tilde C \) una qualunque componente connessa per archi di \(\displaystyle \tilde X \). Allora \(\displaystyle p_{|\tilde C} :\tilde C\rightarrow X \) è un omeomorfismo (e quindi \(\displaystyle X \) è ben ricoperto da \(\displaystyle p \) e \(\displaystyle \tilde C \) è semplicemente connesso).
Ho dimostrato l'iniettività e la suriettività della restrizione di \(\displaystyle p \) a \(\displaystyle \tilde C \) e mi ero messo in testa di mostrare che era un omeomorfismo sfruttando il fatto che \(\displaystyle p \) fosse aperta...il punto è che è vero che \(\displaystyle p \) ristretta ad un aperto è aperta, ma non è vero in generale che \(\displaystyle \tilde C \) è aperta, non so se le componenti connesse sono finite o infinite...tutto inutile?
Provo a postare un tentativo...
TEOREMA
Siano $p:\tilde{X}\rightarrow X$ e $q:X\rightarrow Y$ due rivestimenti. Supponiamo che ogni punto $y\in Y$ possieda un intorno aperto semplicemente connesso. Dimostrare che $q\circ p:\tilde{X}\rightarrow Y$ è un rivestimento.
DIMOSTRAZIONE
Mostriamo un risultato più generale:
Lemma
Sia $p:\tilde{X}\rightarrow X$ un rivestimento. Se $X$ è semplicemente connesso, allora $X$ è ben ricoperto da $p$ e, detta $\tilde{C}$ una qualunque componente connessa per archi di $\tilde{X}$, si ha che $p_{|\tilde{C}}:\tilde{C}\rightarrow X$ è un omeomorfismo.
Dimostrazione
Mostriamo che $p(\tilde{C})=X$. Sia $x_{1}\in X$ e sia $\tilde{x}_{0}\in\tilde{C}$, tale che $p(\tilde{x}_{0})=x_{0}\in X$. Dato che $X$ è connesso per archi, allora esiste un arco $f:I\rightarrow X$ tra $x_{0}$ e $x_{1}$. Dato che possiamo sollevare gli archi, esiste un sollevamento $\tilde{f}:I\rightarrow\tilde{X}$ di $f$, tale che $\tilde{f}(0)=\tilde{x}_{0}$.
Dato che $\tilde{f}$ è un arco e $I$ è connesso per archi, allora anche $\tilde{f}(I)$ è connesso per archi e quindi $\tilde{f}(I)\subseteq\tilde{C}$; inoltre, detto $\tilde{x}_{1}=\tilde{f}(1)$, si ha $(p\circ\tilde{f})(1)=p(\tilde{x}_{1})=f(1)=x_{1}$,
da cui che $\tilde{x}_{1}$ appartiene alla fibra di $x_{1}$. Dall'arbitrarietà di $x_{1}\in X$ segue che $p(\tilde{C})=X$. Mostriamo ora che $p_{|\tilde{C}}$ è iniettiva. Siano $\tilde{x}_{0},\tilde{x}_{1}\in\tilde{C}$ tali che $p(\tilde{x}_{0})=p(\tilde{x}_{1})=x_{0}$: sia $\tilde{f}:I\rightarrow\tilde{X}$ un arco tra $\tilde{x}_{0}$ e $\tilde{x}_{1}$; allora $f=p\circ\tilde{f}$ è un arco chiuso in $x_{0}$, e per definizione, $\tilde{f}$ è un sollevamento di $f$ tale che $\tilde{f}(0)=\tilde{x}_{0}$. Dato che $X$ è semplicemente connesso, $f \sim _{\{0,1\}}\epsilon_{x_{0}}$:
ma questo implica che $\tilde{f} \sim_{\{0,1\}}\tilde{\epsilon}_{x_{0}}$, dove $\tilde{\epsilon}_{x_{0}}$ è l'unico sollevamento di $\epsilon_{x_{0}}$ tale che $\tilde{\epsilon}_{x_{0}}(0)=\tilde{x}_{0}$. Ora, $p(\tilde{\epsilon}_{x_{0}})(t)=\epsilon_{x_{0}}(t)=x_{0}$ significa che $\tilde{\epsilon}_{x_{0}}(t)\in p^{-1}(x_{0})$ per ogni $t\in I$: ma questo è possibile solo se $\tilde{\epsilon}_{x_{0}}$ è un arco costante, in quanto $\tilde{\epsilon}_{x_{0}}(I)\subseteq p^{-1}(x_{0})$
è connesso e le componenti connesse di $p^{-1}(x_{0})$ sono i singoli punti per le proprietà dei rivestimenti; ne consegue che $\tilde{\epsilon}_{x_{0}}=\epsilon_{\tilde{x}_{0}}$. Dato che $\tilde{f}(1)=\tilde{\epsilon}_{x_{0}} 1)=\epsilon_{\tilde{x}_{0}}(1)=\tilde{x}_{0}$, ne consegue che $\tilde{x}_{0}=\tilde{x}_{1}$, e quindi $p_{|\tilde{C}}$ è iniettiva. Ora, $p_{|\tilde{C}}:\tilde{C}\rightarrow X$ è un rivestimento: difatti, per ogni $x\in X$ e per ogni intorno aperto $U$ di $x$, $p^{-1}(U)$ è unione degli insiemi delle controimmagini di $U$ in ogni componente connessa di $\tilde{X}$; sia $\tilde{U}$ l'insieme delle controimmagini contenute in $\tilde{C}$: allora $p_{|\tilde{U}}:\tilde{U}\rightarrow U$ è un'applicazione biunivoca, continua e aperta perchè restrizione di un'applicazione aperta ad un insieme aperto di $\tilde{X}$: ne consegue che $p_{|\tilde{U}}$ è un omeomorfismo. Dato che $\tilde{C}$ è connesso per archi e $X$ è semplicemente connesso, allora $p_{|\tilde{C}}$ è un omeomorfismo, come volevasi dimostrare.
Fine dimostrazione lemma
Ora, dato che la restrizione $q_{|q^{-1}(S)}:q^{-1}(S)\rightarrow S$ è un rivestimento per ogni $S\subseteq Y$, allora, detto $y\in Y$ e $V$ un intorno aperto semplicemente connesso di $y$, si ha che $q^{-1}(V)$ è unione disgiunta di aperti $\{U_{j}\}_{j\in J}$ semplicemente connessi e omeomorfi a $V$ tramite $q$; per lo stesso motivo, $p^{-1}(U_{j})$
è unione $ $disgiunta di aperti $\{\tilde{U}_{j}^{i}\}_{i\in I}$ semplicemente connessi e omeomorfi a $U_{j}$ tramite $p$. Ne consegue che $(q\circ p)^{-1}(V)$ è unione disgiunta degli aperti $\{\tilde{U}_{j}^{i}\}_{j\in J}^{i\in I}$ semplicemente connessi e omeomorfi a $V$ tramite $q\circ p$. Ne consegue che $q\circ p$ è un rivestimento, come volevasi dimostrare.
FINE DIMOSTRAZIONE
Non sono molto convinto...
TEOREMA
Siano $p:\tilde{X}\rightarrow X$ e $q:X\rightarrow Y$ due rivestimenti. Supponiamo che ogni punto $y\in Y$ possieda un intorno aperto semplicemente connesso. Dimostrare che $q\circ p:\tilde{X}\rightarrow Y$ è un rivestimento.
DIMOSTRAZIONE
Mostriamo un risultato più generale:
Lemma
Sia $p:\tilde{X}\rightarrow X$ un rivestimento. Se $X$ è semplicemente connesso, allora $X$ è ben ricoperto da $p$ e, detta $\tilde{C}$ una qualunque componente connessa per archi di $\tilde{X}$, si ha che $p_{|\tilde{C}}:\tilde{C}\rightarrow X$ è un omeomorfismo.
Dimostrazione
Mostriamo che $p(\tilde{C})=X$. Sia $x_{1}\in X$ e sia $\tilde{x}_{0}\in\tilde{C}$, tale che $p(\tilde{x}_{0})=x_{0}\in X$. Dato che $X$ è connesso per archi, allora esiste un arco $f:I\rightarrow X$ tra $x_{0}$ e $x_{1}$. Dato che possiamo sollevare gli archi, esiste un sollevamento $\tilde{f}:I\rightarrow\tilde{X}$ di $f$, tale che $\tilde{f}(0)=\tilde{x}_{0}$.
Dato che $\tilde{f}$ è un arco e $I$ è connesso per archi, allora anche $\tilde{f}(I)$ è connesso per archi e quindi $\tilde{f}(I)\subseteq\tilde{C}$; inoltre, detto $\tilde{x}_{1}=\tilde{f}(1)$, si ha $(p\circ\tilde{f})(1)=p(\tilde{x}_{1})=f(1)=x_{1}$,
da cui che $\tilde{x}_{1}$ appartiene alla fibra di $x_{1}$. Dall'arbitrarietà di $x_{1}\in X$ segue che $p(\tilde{C})=X$. Mostriamo ora che $p_{|\tilde{C}}$ è iniettiva. Siano $\tilde{x}_{0},\tilde{x}_{1}\in\tilde{C}$ tali che $p(\tilde{x}_{0})=p(\tilde{x}_{1})=x_{0}$: sia $\tilde{f}:I\rightarrow\tilde{X}$ un arco tra $\tilde{x}_{0}$ e $\tilde{x}_{1}$; allora $f=p\circ\tilde{f}$ è un arco chiuso in $x_{0}$, e per definizione, $\tilde{f}$ è un sollevamento di $f$ tale che $\tilde{f}(0)=\tilde{x}_{0}$. Dato che $X$ è semplicemente connesso, $f \sim _{\{0,1\}}\epsilon_{x_{0}}$:
ma questo implica che $\tilde{f} \sim_{\{0,1\}}\tilde{\epsilon}_{x_{0}}$, dove $\tilde{\epsilon}_{x_{0}}$ è l'unico sollevamento di $\epsilon_{x_{0}}$ tale che $\tilde{\epsilon}_{x_{0}}(0)=\tilde{x}_{0}$. Ora, $p(\tilde{\epsilon}_{x_{0}})(t)=\epsilon_{x_{0}}(t)=x_{0}$ significa che $\tilde{\epsilon}_{x_{0}}(t)\in p^{-1}(x_{0})$ per ogni $t\in I$: ma questo è possibile solo se $\tilde{\epsilon}_{x_{0}}$ è un arco costante, in quanto $\tilde{\epsilon}_{x_{0}}(I)\subseteq p^{-1}(x_{0})$
è connesso e le componenti connesse di $p^{-1}(x_{0})$ sono i singoli punti per le proprietà dei rivestimenti; ne consegue che $\tilde{\epsilon}_{x_{0}}=\epsilon_{\tilde{x}_{0}}$. Dato che $\tilde{f}(1)=\tilde{\epsilon}_{x_{0}} 1)=\epsilon_{\tilde{x}_{0}}(1)=\tilde{x}_{0}$, ne consegue che $\tilde{x}_{0}=\tilde{x}_{1}$, e quindi $p_{|\tilde{C}}$ è iniettiva. Ora, $p_{|\tilde{C}}:\tilde{C}\rightarrow X$ è un rivestimento: difatti, per ogni $x\in X$ e per ogni intorno aperto $U$ di $x$, $p^{-1}(U)$ è unione degli insiemi delle controimmagini di $U$ in ogni componente connessa di $\tilde{X}$; sia $\tilde{U}$ l'insieme delle controimmagini contenute in $\tilde{C}$: allora $p_{|\tilde{U}}:\tilde{U}\rightarrow U$ è un'applicazione biunivoca, continua e aperta perchè restrizione di un'applicazione aperta ad un insieme aperto di $\tilde{X}$: ne consegue che $p_{|\tilde{U}}$ è un omeomorfismo. Dato che $\tilde{C}$ è connesso per archi e $X$ è semplicemente connesso, allora $p_{|\tilde{C}}$ è un omeomorfismo, come volevasi dimostrare.
Fine dimostrazione lemma
Ora, dato che la restrizione $q_{|q^{-1}(S)}:q^{-1}(S)\rightarrow S$ è un rivestimento per ogni $S\subseteq Y$, allora, detto $y\in Y$ e $V$ un intorno aperto semplicemente connesso di $y$, si ha che $q^{-1}(V)$ è unione disgiunta di aperti $\{U_{j}\}_{j\in J}$ semplicemente connessi e omeomorfi a $V$ tramite $q$; per lo stesso motivo, $p^{-1}(U_{j})$
è unione $ $disgiunta di aperti $\{\tilde{U}_{j}^{i}\}_{i\in I}$ semplicemente connessi e omeomorfi a $U_{j}$ tramite $p$. Ne consegue che $(q\circ p)^{-1}(V)$ è unione disgiunta degli aperti $\{\tilde{U}_{j}^{i}\}_{j\in J}^{i\in I}$ semplicemente connessi e omeomorfi a $V$ tramite $q\circ p$. Ne consegue che $q\circ p$ è un rivestimento, come volevasi dimostrare.
FINE DIMOSTRAZIONE
Non sono molto convinto...
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