Topologia compatta-aperta
Buonasera,
Ho un dubbio a proposito della topologia compatta-aperta, io l'ho definita così su $C(X, Y) $, come la topologia che ha come prebase tutti i sottoinsiemi
$$W(K, U) =\{f\in C(X, Y) | f(K) \subset U\} $$
al variare di $K$ tra i compatti di $X$ e di $U$ tra gli aperti di $Y$.
A questo punto vorrei definire la topologia compatta-aperta su $C^n(X, Y) $... basta che prendo le $f $ in tale insieme? Non mi convince...
Ho un dubbio a proposito della topologia compatta-aperta, io l'ho definita così su $C(X, Y) $, come la topologia che ha come prebase tutti i sottoinsiemi
$$W(K, U) =\{f\in C(X, Y) | f(K) \subset U\} $$
al variare di $K$ tra i compatti di $X$ e di $U$ tra gli aperti di $Y$.
A questo punto vorrei definire la topologia compatta-aperta su $C^n(X, Y) $... basta che prendo le $f $ in tale insieme? Non mi convince...
Risposte
Cos'è \(\displaystyle C^n(X,Y)\)? 
"j18eos":
Cos'è \(\displaystyle C^n(X,Y)\)?
Lo spazio delle funzioni $C^n$ da X in Y...
E quali sono le funzioni che vi appartengono? Che proprietà devono soddisfare?
"otta96":
E quali sono le funzioni che vi appartengono? Che proprietà devono soddisfare?
Sono le funzioni da $X$ in $Y$ n-volte derivabili con derivata continua... Adesso mi rendo conto del problema...
Esatto, a meno che \(\displaystyle X\) ed \(\displaystyle Y\) non siano manifolds, la tua domanda non ha senso! 
"j18eos":
Esatto, a meno che \(\displaystyle X\) ed \(\displaystyle Y\) non siano manifolds, la tua domanda non ha senso!
Ok, supponiamo che siano manifolds... La definizione è analoga...
...e cosa non ti torna?
No niente, ora ci sono!
Ah, va bene! 
"j18eos":
Ah, va bene!
Ho un ultimo dubbio: la topoligia compatta-aperta e la topologia di Whitney sono la stessa cosa?
Direi di no, dato che esistono funzioni lisce non analitiche... ma attendo il parere di altri.
Propongo un possibile contro-esempio: considera \(\displaystyle\mathbb{R}\), e la funzione di Cauchy
\[
f(x)=\begin{cases}
e^{-\frac{1}{x}}\iff x>0\\
0\iff x\leq0
\end{cases};
\]
e prova a ragionare negli intorni di base del punto \(\displaystyle0\) in entrambe le topologie... enjoy it!
Propongo un possibile contro-esempio: considera \(\displaystyle\mathbb{R}\), e la funzione di Cauchy
\[
f(x)=\begin{cases}
e^{-\frac{1}{x}}\iff x>0\\
0\iff x\leq0
\end{cases};
\]
e prova a ragionare negli intorni di base del punto \(\displaystyle0\) in entrambe le topologie... enjoy it!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo