Topologia cofinita
cambia qualcosa sulla compattezza di un insieme che ha la topologia cofinita, se questo insieme è finito o infinito? e per quanto riguarda la continuità di una funzione $f:X->X$????
Risposte
La seconda domanda non ha nessun senso.
La prima si può riformulare precisamente così: un insieme infinito $X$ munito della topologia cofinita è compatto? (ricordo che, ovviamente, tutti gli spazi topologici finiti sono compatti).
A naso direi di si, ma occorre verificare. Conviene usare la caratterizzazione della compattezza in termini di chiusi. E NON fidarsi di questa mia intuizione che è data così, tanto per chiacchierare.
La prima si può riformulare precisamente così: un insieme infinito $X$ munito della topologia cofinita è compatto? (ricordo che, ovviamente, tutti gli spazi topologici finiti sono compatti).
A naso direi di si, ma occorre verificare. Conviene usare la caratterizzazione della compattezza in termini di chiusi. E NON fidarsi di questa mia intuizione che è data così, tanto per chiacchierare.
Cofinita = di Fréchet?
In questo caso la risposta è no, perché lo spazio sarà sempre compatto (sia [tex]\{U_i\}_{i \in I}[/tex] un ricoprimento aperto; scegli l'indice [tex]i_0[/tex] che ti sta più simpatico e osserva che [tex]X \setminus U_{i_0}[/tex] è un insieme finito; ogni suo elemento appartiene a [tex]U_{i_k}[/tex] per qualche indice; prendendo [tex]U_{i_0}[/tex] e gli altri aperti così ottenuti - sono in numero finito! - abbiamo il sottoricoprimento aperto cercato).
Per la continuità, se lo spazio è finito, la topologia coincide con quella discreta e quindi ogni funzione è continua.
Se lo spazio è infinito ci sono funzioni che non sono continue. Prendi [tex]f: \mathbb N \to \mathbb N[/tex] definita da [tex]f(2n) = 0[/tex] e [tex]f(2n+1) = 1[/tex]. Allora [tex]f^{-1}(0) = 2 \mathbb N[/tex], cioè la controimmagine di un chiuso è un insieme che non è né aperto né chiuso. In particolare la sua controimmagine non è chiusa e quindi f non può essere continua.
Possiamo però dire che ogni funzione iniettiva è continua.
In questo caso la risposta è no, perché lo spazio sarà sempre compatto (sia [tex]\{U_i\}_{i \in I}[/tex] un ricoprimento aperto; scegli l'indice [tex]i_0[/tex] che ti sta più simpatico e osserva che [tex]X \setminus U_{i_0}[/tex] è un insieme finito; ogni suo elemento appartiene a [tex]U_{i_k}[/tex] per qualche indice; prendendo [tex]U_{i_0}[/tex] e gli altri aperti così ottenuti - sono in numero finito! - abbiamo il sottoricoprimento aperto cercato).
Per la continuità, se lo spazio è finito, la topologia coincide con quella discreta e quindi ogni funzione è continua.
Se lo spazio è infinito ci sono funzioni che non sono continue. Prendi [tex]f: \mathbb N \to \mathbb N[/tex] definita da [tex]f(2n) = 0[/tex] e [tex]f(2n+1) = 1[/tex]. Allora [tex]f^{-1}(0) = 2 \mathbb N[/tex], cioè la controimmagine di un chiuso è un insieme che non è né aperto né chiuso. In particolare la sua controimmagine non è chiusa e quindi f non può essere continua.
Possiamo però dire che ogni funzione iniettiva è continua.
perfetto dunque sostanzialmente se X è infinito f è continua se e solo se $AA x in X$ $f^-1(x) $ è finito e $f^-1(x)=X$....
per quanto riguarda la connessione invece, X con la top. cofinita è connesso solo se è infinito, vero?
per quanto riguarda la connessione invece, X con la top. cofinita è connesso solo se è infinito, vero?
La risposta a l'ultima domanda è sì! Se [tex]$S$[/tex] avesse sostegno finito la sua topologia cofinita coinciderebbe la sua topologia discreta!
ok per quanto riguarda la continuità una funzione è continua se e solo se le controimmagini di chiusi sono chiusi..
supponiamo che f sia continua, allora ${x}$ è chiuso, perchè finito.
poichè f è continua $f^-1({x})$=$f^-1(x)$ è un chiuso cioè un sottoinsieme finito o tutto X.
ecco perchè ho scritto quello che ho scritto sopra...è una ragionamento giusto?
supponiamo che f sia continua, allora ${x}$ è chiuso, perchè finito.
poichè f è continua $f^-1({x})$=$f^-1(x)$ è un chiuso cioè un sottoinsieme finito o tutto X.
ecco perchè ho scritto quello che ho scritto sopra...è una ragionamento giusto?
Scusate se riapro un vecchio post ma volevo chiedere una chiarificazione per dimostare che uno spazio topologico $X$ con topologia cofinita è compatto.
Come suggeriva @maurer nel post : sia $B={Ui}i∈I$ un ricoprimento aperto di $X$. Per ogni $i in I , U_i$ è aperto e ciò vuol dire che $|X-U_i| $ è finita. Ma $B$ è un ricoprimento di $X$ quindi ogni elemento in $X-U_i$ sta in qualche aperto $U_(i_k),k in I$ e poichè gli elementi in $X-U_i$ sono in numero finito, finiti saranno pure gli aperti $U_(i_k)$.
Ora però il mio dubbio è: questi $U_(i_k)$ ricoprono tutto $X$ o solo $X-U_i$??
Se gli $U_(i_k)$ ricoprissero solo $X-U_i$ posso sempre considerare $U_i=X-U_j$ per qualche $j in I$ e fare lo stesso ragionamento.. il sottoricoprimento resterebbe comunque finito.. o no??
Nell'esercizio mi è anche richiesto di dimostrare che anche ogni sottoinsieme di $X$ è compatto. Ho usato lo stesso procedimento: ho considerato un ricoprimento di $S sube X$,sottoinsieme, ragioanndo allo stesso modo ho trovato un sottoricoprimento aperto di $S$ con aperti di $X$.
Potrebbe andare bene o c'è qualche osservazione in più da dover fare??
Grazie!
Come suggeriva @maurer nel post : sia $B={Ui}i∈I$ un ricoprimento aperto di $X$. Per ogni $i in I , U_i$ è aperto e ciò vuol dire che $|X-U_i| $ è finita. Ma $B$ è un ricoprimento di $X$ quindi ogni elemento in $X-U_i$ sta in qualche aperto $U_(i_k),k in I$ e poichè gli elementi in $X-U_i$ sono in numero finito, finiti saranno pure gli aperti $U_(i_k)$.
Ora però il mio dubbio è: questi $U_(i_k)$ ricoprono tutto $X$ o solo $X-U_i$??
Se gli $U_(i_k)$ ricoprissero solo $X-U_i$ posso sempre considerare $U_i=X-U_j$ per qualche $j in I$ e fare lo stesso ragionamento.. il sottoricoprimento resterebbe comunque finito.. o no??
Nell'esercizio mi è anche richiesto di dimostrare che anche ogni sottoinsieme di $X$ è compatto. Ho usato lo stesso procedimento: ho considerato un ricoprimento di $S sube X$,sottoinsieme, ragioanndo allo stesso modo ho trovato un sottoricoprimento aperto di $S$ con aperti di $X$.
Potrebbe andare bene o c'è qualche osservazione in più da dover fare??
Grazie!
"studentessa CdLmate":Ricoprono solo [tex]X-U_i[/tex], e questo naturalmente ti basta: il sottoricoprimento finito consiste di [tex]U_i[/tex] più gli [tex]U_{i_k}[/tex].
Ora però il mio dubbio è: questi $U_(i_k)$ ricoprono tutto $X$ o solo $X-U_i$??
Per quanto riguarda l'altra questione osserva che la topologia cofinita ristretta a un sottospazio è la topologia cofinita del sottospazio. In altre parole sottospazi di cofiniti sono cofiniti.
Grazie Martino 
ora ho capito (finalmente)!!
ora ho capito (finalmente)!!
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