Topologia cofinita
Salve, sto studiando la compattezza e so che esiste la proposizione secondo cui "un insieme e' compatto se e solo se e' chiuso e limitato". Questa affermazione e' vera solo in alcune topologie e quindi sto cercando una topologia in cui c'e' un elemento compatto ma che non sia chiuso e sto pensando alla topologia cofinita. Il problema e' che non riesco a mostrarlo direttamente. Suggerimenti?
Risposte
Lo so, infatti ho parlato solo di un elemento compatto che non sia chiuso...
In generale un insieme compatto:
1) (in uno spazio metrico) è chiuso e limitato, ma non vale l'implicazione inversa;
2) in uno spazio di Hausdorff è sempre chiuso;
3) è sempre chiuso in particolari spazi topologici (non di Hausdorff), vado a memoria, gli spazi KC...
1) (in uno spazio metrico) è chiuso e limitato, ma non vale l'implicazione inversa;
2) in uno spazio di Hausdorff è sempre chiuso;
3) è sempre chiuso in particolari spazi topologici (non di Hausdorff), vado a memoria, gli spazi KC...
Ho cercato di dimostrare che effettivamente $\mathbb{R}-\{p\}$ e' un compatto.
Per essere compatto, dato un ricoprimento aperto di $\mathbb{R}-\{p\}$ posso estrarre un sottoricoprimento finito.
Suppongo che $\mathbb{R}-\{p\}=\cup_{\alpha \in I} U_{\alpha}$.
Ogni $U_{\alpha}$ e' aperto quindi il suo complementare e' finito. Prendo un insieme del ricoprimento e lo chiamo $V$, $V^c=\{x_1,..,x_n\}$.
Essendo $\cup_{\alpha \in I} U_{\alpha}$ un ricoprimento di $\mathbb{R}$ ho che $\forall x_i \exists U_{\alpha_i}: x_i \in U_{\alpha_i}$.
A questo punto posso scrivere $\mathbb{R}-\{p\}= V \cup V^c$ e quindi scegliere, come ricoprimento di $\mathbb{R}-\{p\}$, $\{V \cup U_{\alpha_1} \cup.... \cup U_{\alpha_n}\}$. Ho quindi trovato un sottoricoprimento finito dato un ricoprimento aperto. $\mathbb{R}-\{p\}$ e' un compatto.
Per essere compatto, dato un ricoprimento aperto di $\mathbb{R}-\{p\}$ posso estrarre un sottoricoprimento finito.
Suppongo che $\mathbb{R}-\{p\}=\cup_{\alpha \in I} U_{\alpha}$.
Ogni $U_{\alpha}$ e' aperto quindi il suo complementare e' finito. Prendo un insieme del ricoprimento e lo chiamo $V$, $V^c=\{x_1,..,x_n\}$.
Essendo $\cup_{\alpha \in I} U_{\alpha}$ un ricoprimento di $\mathbb{R}$ ho che $\forall x_i \exists U_{\alpha_i}: x_i \in U_{\alpha_i}$.
A questo punto posso scrivere $\mathbb{R}-\{p\}= V \cup V^c$ e quindi scegliere, come ricoprimento di $\mathbb{R}-\{p\}$, $\{V \cup U_{\alpha_1} \cup.... \cup U_{\alpha_n}\}$. Ho quindi trovato un sottoricoprimento finito dato un ricoprimento aperto. $\mathbb{R}-\{p\}$ e' un compatto.
In realta' questa dimostrazione puo' essere adattata ad ogni sottoinsieme di $\mathbb{R}$ con la topologia cofinita. Quindi la mia domanda ora ha una risposta abbastanza chiara. Qualsiasi sottoinsieme e' un compatto, se poi si prende un qualsiasi sottoinsieme infinito di $\mathbb{R}$, questo non e' chiuso e quindi si ha quello che cercavo.
Correggetemi se sbaglio
Correggetemi se sbaglio
"arnett":
Volevi scrivere $\{V, U_{\alpha_1}, ..., U_{\alpha_n}\}$, comunque è giusto. E si adatta anche più in generale: un sottospazio di uno spazio cofinito è cofinito e ogni spazio cofinito è compatto, quindi per un controesempio basta partire da un insieme infinito qualsiasi con la topologia cofinita.
Si, il copia-incolla e la fretta non vanno d'accordo, ho sbagliato a scrivere. Grazie!!
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