Topologia cofinita

[giuliacarlino1993]

Si munisca R della topologia cofinita. Si discuta la continuità della seguente funzione
$ f: Rrarr R $
$ f(x):={ ( x^2/(x-1) ),( 3 ):} $
(f(x) vale 3 se x uguale ad 1;l'altra in tutti gli altri casi))

Allora f è continua se e solo se lo è in ogni punto del dominio. Quindi dobbiamo verificare la continuità in 1.
Per farlo volevo applicare il teorema in base al quale f è continua se e solo se per ogni chiuso C del codominio, $ f^-1(C) $ è un chiuso nel dominio.Ora i chiusi nella topologia cofinita sono i sottoinsiemi finiti di R.Quindi devo cercare di capire chi è $ f^-1 $ di un sottoinsieme finito di R. Ma a questo punto come continuo?

[vict85]

Non pensare come se fossi con la topologia classica. Ora ti trovi in una topologia diversa. Ciò che devi dimostrare è che la controimmagine di un aperto/intorno/chiuso è un aperto/intorno/chiuso. Inoltre puoi dimostrare la continuità per ogni punto direttamente, non ti trovi in analisi.

I chiusi della topologia cofinita sono l'unione di un numero finito di punti. Ti basta quindi dimostrare che la controimmagine di ogni punto è un insieme finito.

[vict85]

Vorrei chiarire il mio suggerimento di non pensare come se ti trovassi con la topologia metrica standard. Una qualsiasi permutazione di \(\mathbb{R}\) (una biezione da \(\mathbb{R}\) in sé stesso) è continua nella topologia cofinita perché la controimmagine di ogni elemento contiene un solo elemento. Quindi funzioni che visivamente sono tutto al di fuori di continue possono esserlo in questa topologia. Allo stesso modo la funzione coseno non è continua in questa topologia perché la controimmagine dell'identità non è un chiuso nella topologia cofinita.