Topologia circonferenza ed ellisse
1) Nel piano euclideo si consideri un ellisse ed una circonferenza. Sia poi X il sottospazio unione disgiunta dell'ellisse e la circonfereza; Y e Z i sottospazi ottenuti intersecando l'ellisse e la circonferenza rispettivamente in due punti e in quattro punti.
a)Studiare X,Y,Z rispetto a connessione e compattezza
b)Provare che gli insiemi non sono a coppie omeomorfe
c)Determinare la frontiera di C in Y
a) Allora l'ellisse e la circonferenza sono connesse poichè connesse per archi. Entrambe sono anche compatte poichè chiuse e limitate. X non è connesso poichè non connesso per poligonale (è unione disgiunta di due insiemi e dunque non posso "connettere" tramite un segmento un punto dell'ellisse con uno della circonferenza). X è compatto poichè l'unione di chiusi è un chiuso e l'unione di insiemi limitati è limitato. Y e Z sono connessi poichè entrambi unione di connessi non disgiunti; sono anche compatti poichè entrambi unione di compatti.
b) X non è omeomorfo a Y nè a Z poichè non è connesso. Y è dotata di insiemi di punti di taglio (ne posso prendere minimo 2 che mi dividono l'insieme in minimo due componenti connesse); in particolare ne ho due , quelli intersezione della circonferenza con l'ellisse che taglia Y in 4 componenti connesse. Z invece, è dotato di insiemi di punti di taglio (sono particolari, è difficile scriverli, ma dal grafico si vede subito dove sono tali punti); in particolare i quattro punti di intersezione tagliano Z in 7 componenti connesse; quindi Z non è omeomorfo a Y e per il numero di punti di taglio e per il numero di componenti connesse.
c)Per definizione di frontiera i punti di intersezione della circonferenza con l'ellisse costitutiscono la frontiera.
a)Studiare X,Y,Z rispetto a connessione e compattezza
b)Provare che gli insiemi non sono a coppie omeomorfe
c)Determinare la frontiera di C in Y
a) Allora l'ellisse e la circonferenza sono connesse poichè connesse per archi. Entrambe sono anche compatte poichè chiuse e limitate. X non è connesso poichè non connesso per poligonale (è unione disgiunta di due insiemi e dunque non posso "connettere" tramite un segmento un punto dell'ellisse con uno della circonferenza). X è compatto poichè l'unione di chiusi è un chiuso e l'unione di insiemi limitati è limitato. Y e Z sono connessi poichè entrambi unione di connessi non disgiunti; sono anche compatti poichè entrambi unione di compatti.
b) X non è omeomorfo a Y nè a Z poichè non è connesso. Y è dotata di insiemi di punti di taglio (ne posso prendere minimo 2 che mi dividono l'insieme in minimo due componenti connesse); in particolare ne ho due , quelli intersezione della circonferenza con l'ellisse che taglia Y in 4 componenti connesse. Z invece, è dotato di insiemi di punti di taglio (sono particolari, è difficile scriverli, ma dal grafico si vede subito dove sono tali punti); in particolare i quattro punti di intersezione tagliano Z in 7 componenti connesse; quindi Z non è omeomorfo a Y e per il numero di punti di taglio e per il numero di componenti connesse.
c)Per definizione di frontiera i punti di intersezione della circonferenza con l'ellisse costitutiscono la frontiera.
Risposte
Con un pò di ritardo...
Come sei complicato nel dimostrare la sconnessione di \(X\): se fai un disegno risolvi subito...
Non concordo molto sul modo di dimostrare la compattezza di \(Y\) e \(Z\)!
Come sei complicato nel dimostrare la sconnessione di \(X\): se fai un disegno risolvi subito...
Non concordo molto sul modo di dimostrare la compattezza di \(Y\) e \(Z\)!
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