Topologia che rende compatto e T2 un qualunque spazio topologico
Sia $X$ un insieme qualsiasi. Si provi che esiste una topologia $\tau$ su $X$ tale che lo spazio topologico $(X,\tau)$ è compatto e T2.
Sia $x inX$, poniamo $Y=X\\{x}$ e consideriamo lo spazio topologico $(Y,\tau_D)$ (dove $\tau_D$ è la topologia discreta su $Y$). Poniamo $A_{infty}={AsubeX|x inA, X\\A$ è chiuso e compatto in $Y}$. Definiamo la topologia $\hat \tau =\tau_DuuA_{infty}$. Lo spazio topologico $(X,\hat \tau)$ è compatto. Inoltre $(Y,\tau_D)$ è T2 ed $AAyinY$ si ha che ${y}$ è un intorno compatto di $y$ in $Y$, per cui $(X,\hat \tau)$ è anche T2.
Sia $x inX$, poniamo $Y=X\\{x}$ e consideriamo lo spazio topologico $(Y,\tau_D)$ (dove $\tau_D$ è la topologia discreta su $Y$). Poniamo $A_{infty}={AsubeX|x inA, X\\A$ è chiuso e compatto in $Y}$. Definiamo la topologia $\hat \tau =\tau_DuuA_{infty}$. Lo spazio topologico $(X,\hat \tau)$ è compatto. Inoltre $(Y,\tau_D)$ è T2 ed $AAyinY$ si ha che ${y}$ è un intorno compatto di $y$ in $Y$, per cui $(X,\hat \tau)$ è anche T2.
Risposte
È giusto.
"otta96":
È giusto.
In pratica ho usato la compatificazione di Alexandrof, che aggiunge un punto che rende compatto l'insieme.
Eh si ho visto 
Credo che ci sia un'ambiguità nel titolo, forse intendevi qualcosa del genere:"Topologia che rende compatto e \(\displaystyle T_2\) un qualunque insieme"
"j18eos":
Credo che ci sia un'ambiguità nel titolo, forse intendevi qualcosa del genere:"Topologia che rende compatto e \(\displaystyle T_2\) un qualunque insieme"
Si hai ragione, scusa.
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