Topologia, basi e palle aperte.
Sia $N_{r}(x) = { (y1,y2) \in R^{2} | |y1 - x1| + |y2 - x1| < r }$ l'insieme dei punti del piano costituito dal quadrato di lato $r$ con diagonali parallele agli assi.
Voglio mostrare che $D_{2} = { N_{r}(x) | r > 0, x \in R^{2} }$ è una base per la topologia euclidea del piano.
- Dalla definizione di base voglio mostrare che l'unione di tutti gli elementi in $D_{2}$ mi restituisce il piano e questo è banale infatti $R^{2} = \bigcup_{p \in R^{2}} N_{r}(p)$ dove $r > 0$.
Se prendo l'unione vuota ottengo l'insieme vuoto che appartiene alla topologia.
- L'idea è quella dapprima di dimostrare che preso un elemento $N_{r}(x)$ posso scriverlo ocme unione di palle aperte $B(y, \epsilon)$ ovvero $\forall y \in N_{r}(x), esiste B(y, \epsilon) \subset N_{r}(x)$.
Devo trovare se esiste il raggio positivo della palla $\epsilon$.
1) Sia $z \in B(y, \epsilon)$ allora $d(z, y) < \epsilon$.
Voglio mostrare che esiste $\epsilon > 0$ tale che $z \in N_{r}(x)$ ovvero che $|x_{1} - z_{1}| + |x_{2} - z_{2}| < r$.
Dalla disuguaglianza triangolare so che:
$d(z, x) \leq d(z, y) + d(y,x) < \epsilon + d(y,x) < \epsilon + |y_{1} - x_{1}| + |y_{2} - x_{2}|$.. come vado avanti adesso?
Voglio mostrare che $D_{2} = { N_{r}(x) | r > 0, x \in R^{2} }$ è una base per la topologia euclidea del piano.
- Dalla definizione di base voglio mostrare che l'unione di tutti gli elementi in $D_{2}$ mi restituisce il piano e questo è banale infatti $R^{2} = \bigcup_{p \in R^{2}} N_{r}(p)$ dove $r > 0$.
Se prendo l'unione vuota ottengo l'insieme vuoto che appartiene alla topologia.
- L'idea è quella dapprima di dimostrare che preso un elemento $N_{r}(x)$ posso scriverlo ocme unione di palle aperte $B(y, \epsilon)$ ovvero $\forall y \in N_{r}(x), esiste B(y, \epsilon) \subset N_{r}(x)$.
Devo trovare se esiste il raggio positivo della palla $\epsilon$.
1) Sia $z \in B(y, \epsilon)$ allora $d(z, y) < \epsilon$.
Voglio mostrare che esiste $\epsilon > 0$ tale che $z \in N_{r}(x)$ ovvero che $|x_{1} - z_{1}| + |x_{2} - z_{2}| < r$.
Dalla disuguaglianza triangolare so che:
$d(z, x) \leq d(z, y) + d(y,x) < \epsilon + d(y,x) < \epsilon + |y_{1} - x_{1}| + |y_{2} - x_{2}|$.. come vado avanti adesso?
Risposte
Non devi dimostrare che esiste epsilon. Epsilon lo hai fissato. Devi dimostrare che esiste $r$ tale che...
Infatti, non capisco cosa stai facendo. Perché non applichi la definizione di base? Presa una palla e un punto dentro di essa, devi trovare un quadratino che contiene il punto ed è contenuto nella palla. Esattamente l'inverso di ciò che stai facendo tu.
Infatti, non capisco cosa stai facendo. Perché non applichi la definizione di base? Presa una palla e un punto dentro di essa, devi trovare un quadratino che contiene il punto ed è contenuto nella palla. Esattamente l'inverso di ciò che stai facendo tu.
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