Topologia algebrica

[Mrhaha]

Salve ragazzi!
Sto leggendo alcuni appunti di un mio prof riguardanti la topologia algebrica. Il suo approccio è molto interessante, perché presenta e sviluppa alcuni cenni di questa teoria mediante la teoria delle categorie. Mi chiedevo se esistesse un qualche altro approccio, che magari non faccia uso della tdc.
Qualcuno di voi ne sa qualcosa?

Hi guys!

[j18eos]

Interessante domanda... se vuoi dei testi che sviluppano la topologia algebrica senza la teoria delle categorie ce ne sono a bizzeffe (e.g.: Greenberg e Harper, Hatcher, Hilton e Wylie, Hu, Massey, "i" Munkres, Rotman).

Cosa vuoi sviluppare della topologia algebrica senza la TdC? L'omotopìa\la coomotopìa, l'omologia\la coomologia, i grafi...

[Mrhaha]

Io della topologia algebrica non so tantissimo. Quello che ho studiato è l'omotopia per poi arrivare al gruppo fondamentale. Volevo vedere come potremmo definire questi due concetti, senza l'uso della TdC. Consulterò almeno una parte dei libri che mi hai suggerito. Per curiosità, preferisci usare la TdC o no?

[j18eos]

Per una trattazione completa, vasta e profonda dell'omotopìa e dintorni Hu - Homotopy theory; altrimenti gli ultimi due capitolo del Munkres - Topology per una trattazione basilare.

Per le applicazioni che mi servono del I gruppo fondamentale è indispensabile la TdC; ma la teoria di base è sviluppabilissima senza di essa.

Poi, sperando (invano?) di non far arrabbiare nessuno, per gli usi di cui me ne sono servita: la TdC è un potente linguaggio tecnico; senza di essa, di certe cose non saprei proprio parlare.

[killing_buddha]

"Mrhaha":Salve ragazzi!
Sto leggendo alcuni appunti di un mio prof riguardanti la topologia algebrica. Il suo approccio è molto interessante, perché presenta e sviluppa alcuni cenni di questa teoria mediante la teoria delle categorie. Mi chiedevo se esistesse un qualche altro approccio, che magari non faccia uso della tdc.
Qualcuno di voi ne sa qualcosa?
Hi guys!

Chi e' questo prof?
La risposta piu onesta che mi viene in mente e' che senza dubbio e' possibile sviluppare molto linguaggio "senza fare uso" di TdC; pero' possono succedere due cose, dopo.
1. il linguaggio si ferma perche' non ha la potenza per esprimere certi concetti ("avere una teoria dell'omotopia" non e' qualcosa che e' relegato al mondo degli spazi topologici, per quanto cio' possa essere stupefacente per te ci sono dei modi (esattamente nove) di associare ad un insieme un gruppo di omotopia; per non parlare poi del fatto che tutta la pletora di linguaggio dell'algebra omologica -i gruppi di omologia e coomologia, le "omotopie" tra (complessi di) catene- trovano naturale espressione come una "abelianizzazione" della teoria dell'omotopia usuale)
2. Ti riduci a fare la teoria uguale a quella "vera", solo evitando di chiamare "funtore" quello che e' un funtore, e sprecando un sacco di spazio " continuando a dimostrare lo stesso teorema in dieci contesti diversi", invece di riconoscere un pattern e dimostrare una tantum il necessario.
La teoria dei gruppi fondamentali e' certamente comprensibile senza fare uso di strumenti concettuali astratti: hai dei lacci che si annodano attorno a dei buchi, hai il teorema di Van Kampen, e l'80% degli esercizi del mondo li riesci a fare. Per cose piu' complicate potresti avere bisogno di qualche idea piu' profonda, per esempio per capire che calcolare un gruppo di Galois (sai cosa sono?) e' "praticamente" come calcolare un gruppo fondamentale.
Dico la mia sui libri:
Munkres e' un pugno nelle costole dato con la precisione e la forza di un maniscalco.
Hatcher commette costantemente l'errore due che ti ho delineato sopra: leggi quello che scrive quando sai gia' tutto, e capirai tutto nelle intime pudenda, ma prima e' qualcosa che non consiglierei.
Massey, piuttosto. Comincia facendoti verificare la formula di Eulero sulla triangolazione di un toro, fa dei contacci sulle parole che descrivono la chirurgia delle superfici reali compatteconnesse, e poi ti dice: vorresti sapere cosa c'e' nella tana del bianconiglio? Allora continua a leggere.
E poi Bredon, Topology and Geometry, che raramente nomina categorie e funtori ma e' di una completezza imbarazzante, inumana. Con dieci righe di quel libro ti sazi dieci giorni.
James Vick, Homology theory: quando lo leggevo ho pensato "non puo' essere che la teoria dei CW-complessi sia cosi' facile", continuavo a chiedermi dove fosse il trucco. Ma il trucco in effetti non c'e', e i conti vengono.
J. Davis, Lecture notes in algebraic topology (click), ha la simpatica idea di chiederti cose come: "prenditi un mese di tempo e dimostra il teorema di approssimazione cellulare." "Seguimi nel far degenerare questa successione spettrale." "Osserva come la K-teoria topologica abbia questa proprieta' ma non quest'altra." e altre amenita'
Hajime Sato, Algebraic Topology, an intuitive approach. Il libro che fa sembrare un gioco praticamente tutto; sta in una tasca della giacca, te lo porti dove vuoi e impari a calcolare i gruppi di omologia delle cose nello stesso modo con cui giochi coi Sudoki.

[Mrhaha]

Il prof. è Francesco Mazzocca! Lo conosci killing_buddha?
Ammetto che il primo punto non mi è chiarissimo. Perché ci sono esattamente nove modi di associare ad un insieme un gruppo di omotopia? Oddio, mi ha colpito sta cosa..
Riguardo al gruppo di Galois, intendi quello che si usa per le estensioni di Galois? Oddio questa conversazione mi sta shockando!
Grazie per il suggerimento dei libri, dei commenti parecchio interessanti!
Sicuramente non farò a meno del testo di Davis e Sato!

[killing_buddha]

Provo a risponderti, tanto non credo qualcun altro lo fara' al posto mio.
Non conosco il tuo docente, ero solo curioso di vedere come ha parlato di topologia algebrica usando le categorie.
Per quanto riguarda il primo punto, lo riprendo ed espando.

"avere una teoria dell'omotopia" non e' qualcosa che e' relegato al mondo degli spazi topologici, per quanto cio' possa essere stupefacente per te ci sono dei modi (esattamente nove) di associare ad un insieme un gruppo di omotopia;

Questo e' uno dei punti di partenza possibili per motivare concettualmente la teoria delle "categorie modello".
Quando fai topologia algebrica "classica" una cosa che ti da' molto fastidio e' assistere a un fenomeno di asimmetria: un omeomorfismo e' obbligato ad indurre isomorfismi tra tutti gli insiemi-gruppi di omotopia, proprio perche' $\pi_n$ e' un funtore per ogni $n\ge 0$. D'altra parte, una mappa che induce isomorfismi tra tutti i gruppi di omotopia, come ad esempio quella che rende omotopicamente equivalenti i due spazi

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non e' affatto obbligata ad essere un omeomorfismo (questa in particolare non lo e', perche'?).
Questo e' un problema piuttosto serio, se consideri che la topologia algebrica e' stata letteralmente inventata apposta per dire quando due spazi possono o non possono essere isomorfi.

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Siccome pero' l'asimmetria non e' dovuta alla nostra idiozia, ma e' inerente alla teoria, si e' deciso di aggirare il problema; vogliamo che le "equivalenze omotopiche", quelle funzioni continue, cioe', che inducono isomorfismi tra tutti i $\pi_n$, siano trattati come isomorfismi e alla fine lo diventino. E quando un matematico, specie se e' un topologo algebrico, vuole qualcosa, la ottiene semplicemente definendo un setting dove quello che vuole e' vero.
Tu hai allora una categoria (quella degli spazi topologici), diciamo \(\bf Top\), e dentro a \(\bf Top\) certe mappe, le equivalenze omotopiche \(Wk=\{f\colon X\to Y\mid \pi_n(f)\colon \pi_n(X)\cong \pi_n(Y)\;\;\forall n\ge 0\}\). Con una procedura analoga a quella che inverte formalmente certi elementi di un anello, dandoti una sua localizzazione (oppure il campo delle frazioni di un anello integro: pensa alla procedura che crea $\mathbb Q$ a partire da $\mathbb Z$), io ti riesco a dare una nuova categoria, detta categoria dell'omotopia, dove le equivalenze omotopiche sono davvero invertibili. Si chiama "categoria dell'omotopia" per la ragione che ti aspetti: su ogni insieme di mappe continue \({\bf Top}(X,Y)\) e' definita una relazione di equivalenza, che e' proprio la relazione di omotopia che hai in mente tu, e la categoria dell'omotopia ha gli stessi oggetti, e per morfismi tra due oggetti esattamente la classi di omotopia tra mappe continue.

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La storia non finisce qui: dentro la categoria \(\bf Top\) io posso isolare altre classi di morfismi: le fibrazioni (pensale come una generalizzazione del concetto di "rivestimento"; i rivestimenti sono le fibrazioni a fibra discreta) e le cofibrazioni (che come suggerisce il nome sono "la nozione duale" a quella di fibrazione: se le prime erano suriezioni, queste le devi pensare come qualcosa che somiglia alla classe delle inclusioni di sottospazi chiusi).
Queste due classi non sono scorrelate da quella delle equivalenze deboli, ne' sono indipendenti tra loro: una qualsiasi mappa continua $f : X\to Y$ puo' essere fattorizzata come la composizione di due mappe, $p\circ i$,

[tex]\xymatrix{
X\ar[r]^i & Y^I\ar[r]^p & Y
}[/tex][/list:u:29t575l2]
dove $i$ e' una cofibrazione e $p$ e' sia una fibrazione che un'equivalenza omotopica; se $Y^I$ e'qualcosa che somiglia allo spazio dei cammini continui $[0,1]\to Y$, $p : Y^I\to Y$ e' la mappa che manda un cammino $\gamma : [0,1]\to Y$ nel suo punto iniziale (o finale, non ricordo mai; l'idea e' quella comunque).


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Ora viene la parte bella. Tutto cio' e' meraviglioso per almeno due ragioni:


[*:29t575l2] Risolve un problema estetico (e la matematica non e' altro che un uso accorto del senso estetico);[/*:m:29t575l2]
[*:29t575l2] Crea un paradigma che e' esportabile ad altri contesti.[/*:m:29t575l2][/list:u:29t575l2]
Cosa vuol dire il secondo punto? Vuol dire che tutto quello che ho detto l'ho detto a proposito di certe mappe che voglio invertire (le equivalenze omotopiche), del mio modo di invertirle (la teoria della localizzazione di categorie), del modo che ho di presentare con "generatori e relazioni" questa localizzazione, e per ultimo a proposito dell'esistenza di altre due classi di mappe che "si comportano bene" rispetto ai dati che avevo gia' inserito nella teoria.

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Molto bene, ma allora niente mi impedisce di dare una definizione generale: cos'e' una categoria dove ho una classe di morfismi che esigo di poter trattare come isomorfismi (le chiamo "equivalenze deboli"), e due classi ausiliarie che mi permettono di poter trattare quello che ottengo dopo il processo di inversione formale come una vera categoria dell'omotopia, dove le mappe sono classi di equivalenza modulo una certa relazione (perche' nel caso di \(\bf Top\) e' vero che posso farlo, ma in generale non e' scontato)? In una categoria fatta cosi' posso dare tutte le definizioni cui ero abituato in topologia e che credevo (stolto che ero!) fossero inerenti alla topologia. E invece manco po' cazz', per usare un gergo tecnico: la teoria dell'omotopia e' inerente a un dato algebrico, che io sovraimpongo alla categoria degli oggetti che io voglio trattare "come se" fossero spazi topologici. Questa e' l'idea dietro la definizione di una struttura modello su una categoria qualsiasi.

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E quel "come se" raggiunge picchi di identificazione formale che non esito a definire orgasmici: a patto di stare abbastanza attento, posso definire cosa siano i gruppi di omotopia, posso definire cosa sia lo "spazio dei loop" di un oggetto, questo spazio dei loop ha la struttura di un gruppo (come coi loop topologici), quando faccio lo spazio dei loop di uno spazio dei loop ottengo un gruppo abeliano (come succedeva in \(\bf Top\)), lo "spazio dei loop" della base di una fibrazione $E\to B$ agisce in modo naturale sulla fibra $F$ di quella fibrazione, ...
Stare abbastanza attento significa che scopro che un sacco di definizioni e di strutture che nella teoria dell'omotopia degli spazi topologici erano "semplici" qui non lo sono. Un esempio su tutti, la relazione di "essere omotopi" in generale non e' una congruenza, ossia non e' compatibile con la composizione di frecce. Avro' una nozione di omotopia destra, compatibile con la composizione a destra, e una nozione di omotopia sinistra, compatibile con la composizione a sinistra.

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In effetti tutto questo elefantiaco comparto teorico risolve un altro problema annoso della topologia algebrica, che risponde (parzialmente) alla richiesta di espandere l'altro commento


per non parlare poi del fatto che tutta la pletora di linguaggio dell'algebra omologica -i gruppi di omologia e coomologia, le "omotopie" tra (complessi di) catene- trovano naturale espressione come una "abelianizzazione" della teoria dell'omotopia usuale)


La storia si puo' riassumere come segue: a partire dall'algebra omologica "elementare" c'e' un cammino piuttosto preciso, che precipita a forza nel buco nero dell'algebra omotopica, che e' quella che ti ho appena descritto ed e' la versione non abeliana di quella omologica.

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Quello che credo saprai e' che i gruppi di omotopia di uno spazio sono estremamente difficili da calcolare; abbiamo delle tecniche che sono delle pure astuzie, ma manca una vera Teoria del Tutto persino per quanto riguarda il problema di determinare la successione di gruppi \(G_{m,n}\), dell'n-esimo gruppo di omotopia della sfera $S^m$.
All'inizio della topologia algebrica si sperava che tradurre i problemi della topologia in quelli della teoria dei gruppi fosse una semplificazione; in realta' non e' cosi', per motivi piuttosto profondi (che sono legati al fatto che il sommo fascista ha permesso a noi formiche di vedere una relazione tra le due teorie proprio perche' esse non sono dissimili, ed entrambe sono fottutamente difficili proprio perche' esse non sono dissimili: e' la solita annosa storia della coperta troppo corta, se ti copri la testa escono i piedi e viceversa.

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Allora, quello che si fa con questo problema e' cercare di uccidere un po' di complessita' legata al problema.
cosa fai? passi a considerare dei gruppi rigorosamente abeliani (il gruppo fondamentale non lo era) la cui natura e' squisitamente combinatoria (a dispetto della natura squisitamente qualcos'altro dei gruppi di omotopia); questi sono i gruppi di omologia e coomologia, di uno spazio, che per larghe classi di spazi si possono calcolare con imbarazzante agilita'.

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Adesso immagina Poincare' che nel chiuso della sua stanza si pulisce gli occhiali e nota con umiliazione e con terrore che questi gruppi, che si sperava costituissero un sistema di invarianti che classifica uno spazio (i gruppi di omotopia lo erano, e abbiamo fatto quel giro assurdo di astrazione gargantuesca proprio per fare in modo che continuassero a esserlo!), purtroppo non lo sono (e dei controesempi li aveva gia' Poincare', che non ho citato a caso).

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Tu adesso potrai dire: "All'asilo la maestra ci insegno' a colorare le zebre,e poi ci insegno' una filastrocca che dice "solo nella categoria dei CW complessi $\{\pi_n\}$ e' un sistema di invarianti completo per omotopia, -ia -ia -oh".
E io ti dico si', ma "a meno di omotopia, la categoria dei CW e' approssimabile con \(\bf Top\)".
C'e' una ragione piuttosto profonda per spiegare l'affermazione che "a meno di omotopia, la categoria dei CW e' approssimabile con Top"; questa ragione piuttosto profonda emerge esattamente quando tutta la teoria che ho enunciato sopra cristallizza nella tua testa come lo zucchero fa' da una barbabietola.

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Parto dall'inizio: c'e' un teorema in topologia che si chiama "teorema di approssimazione cellulare", che sostanzialmente ti dice che se due spazi sono CW-complessi, allora una funzione continua tra loro si riesce ad "approssimare" con una funzione continua che, in piu', rispetta la decomposizione in celle. La sostanza del discorso e' che i complessi cellulari sono "lo strumento adatto" perche' la loro definizione e' combinatoria e induttiva, e la classe di spazi che ottieni e' molto larga. Ancora, la sostanza del discorso e' che tu hai delle varie soluzioni al Problema ("la geometria e' difficile e invarianti completi non ne hai, che farai?"); uno di questi e' fare "topologia combinatoria", ossia sostituire i tuoi spazi con approssimazioni simpliciali o cellulari, se non che la tua anima da topologo, esacerbata dal germe del dubbio, si chiede "non e' che per caso in tutto cio' mi perdo qualcosa per strada?". Ovvero: sono davvero, davvero sicuro che questo processo di approssimazione cellulare non perda delle informazioni topologicamente/omotopicamente interessanti?

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Nel timore generale, a un certo punto Daniel Kan, uno dei topologi piu' astuti del millennio, si e' accorto che gli insiemi simpliciali, collezioni di poliedri di varie dimensioni le cui realizzazioni topologiche sono CW-complessi, somigliano talmente tanto agli spazi topologici da avere una loro nozione di "omotopia di mappe" (questa nozione non e' per niente geometrica, nel senso che "geometrico" ha nella tua testa, da un punto di vista naif essa e' puramente combinatoria, e coinvolge la combinatoria dell'intersezione dei simplessi; da un punto di vista algebrico essa si enuncia "bene" all'interno del setting delle categorie modello che ti ho descritto sopra; da entrambi i punti di vista, la possibilita' di immergere bordi di dischi (il tipo piu' semplice di CW) in spazi si traduce in qualcosa di puramente algebrico).

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Questa "teoria dell'omotopia" da' alla categoria degli insiemi simpliciali una struttura di qualche tipo, che e' una struttura modello nel senso che ti ho descritto sopra. Due strutture modello su due categorie diverse a questo punto possono essere confrontate, e a volte, invertendo le equivalenze deboli da ambo i lati, trovo la stessa categoria dell'omotopia: in questo caso affermo che la teoria dell'omotopia di qua' e' la stessa teoria dell'omotopia che ho di la'. Va senza dire che il caso di \(\bf Top\) e degli insiemi simpliciali e' uno di questi casi: ecco risolto il problema iniziale.
E' degno di menzione, infinte, che Kan e Quillen, negli anni 60, chiamarono "struttura modello" quel dato, proprio avendo in testa questo principio di confronto, perche' esso e' l'avatar (il "modello" comune) della teoria dell'omotopia (una sola, la stessa) che sta dietro Top e dietro SimpSets. Allora, moralmente uno puo' dire: se l'oggetto di studio della topologia algebrica NON e' Top, ma uno qualsiasi dei modelli della sua teoria dell'omotopia, scegline uno facile! Usa ad esempio SimpSets, tanto a meno di una equivalenza di categorie che rispetta questa nozione misteriosa di omotopia esse sono "la stessa cosa", nello stesso senso in cui la categoria tal dei tali e' equivalente alla talaltra dei talaltri.
Ecco, questa e' la vera faccia della topologia algebrica

[killing_buddha]

Dimenticavo la domanda vera a cui mi avevi chiesto di rispondere: la categoria degli insiemi ha esattamente nove strutture modello, non una di piu', non una di meno http://www.math.harvard.edu/~oantolin/n ... tsets.html