Topologia a partire da una base
Buongiorno.
Ho questo esercizio da risolvere, e ho molti problemi con gli esercizi di topologia in cui mi viene chiesto di dimostrare che un dato insieme è una base per una topologia (non specificata).
Nell'insieme degli $NN+$ naturali positivi si consideri la famiglia di insiemi
$ \mathcal{B}=\{\{2n-1,2n\} | n \in $$NN+$ $\} $.
Devo dimostrare che questo insieme è base di una topologia sui numeri naturali positivi.
Per farlo verifico le condizioni che unione di elementi di $\mathcal{B}$ formi $NN+$ e che l'intersezione di elementi di $\mathcal{B}$ possa essere rappresentato dall'unione di elementi di $\mathcal{B}$.
Il mio problema sorge nel momento in cui devo identificare gli elementi di $\mathcal{B}$. Sono formati semplicemente da una coppia di numeri (di cui uno dispari e il suo successivo) come ad esempio $\{{1,2}} $, o possono essere formati da più coppie di numeri $\{{1,2},{5,6}}$?
In oltre, mi viene richiesto di determinare la chiusura dell'insieme ${10,11,12,13}$.
So che la chiusura di un insieme è l'intersezione dei chiusi contenenti l'insieme stesso. Ho cercato di capire quali sono i chiusi, e siccome sono complementari di aperti rispetto all'insieme di partenza dei numeri interi positivi, ho pensato che i chiusi sono generici sottoinsieme di interi positivi non vincolati ad avere un numero dispari e il suo successivo. Per esempio un chiuso sarebbe l'insieme ${1,4,5}$. Perciò secondo il mio ragionamento l'insieme ${10,11,12,13}$ è un chiuso e quindi la sua chiusura coincide con sè stesso.
Nel punto successivo mi viene richiesto anche di dimostrare che ${7}$ non è un chiuso, ma secondo il mio ragionamento precedente questo insieme sarebbe proprio un chiuso.
Perciò il mio ragionamento è sbagliato, ma in cosa?
Grazie!
Ho questo esercizio da risolvere, e ho molti problemi con gli esercizi di topologia in cui mi viene chiesto di dimostrare che un dato insieme è una base per una topologia (non specificata).
Nell'insieme degli $NN+$ naturali positivi si consideri la famiglia di insiemi
$ \mathcal{B}=\{\{2n-1,2n\} | n \in $$NN+$ $\} $.
Devo dimostrare che questo insieme è base di una topologia sui numeri naturali positivi.
Per farlo verifico le condizioni che unione di elementi di $\mathcal{B}$ formi $NN+$ e che l'intersezione di elementi di $\mathcal{B}$ possa essere rappresentato dall'unione di elementi di $\mathcal{B}$.
Il mio problema sorge nel momento in cui devo identificare gli elementi di $\mathcal{B}$. Sono formati semplicemente da una coppia di numeri (di cui uno dispari e il suo successivo) come ad esempio $\{{1,2}} $, o possono essere formati da più coppie di numeri $\{{1,2},{5,6}}$?
In oltre, mi viene richiesto di determinare la chiusura dell'insieme ${10,11,12,13}$.
So che la chiusura di un insieme è l'intersezione dei chiusi contenenti l'insieme stesso. Ho cercato di capire quali sono i chiusi, e siccome sono complementari di aperti rispetto all'insieme di partenza dei numeri interi positivi, ho pensato che i chiusi sono generici sottoinsieme di interi positivi non vincolati ad avere un numero dispari e il suo successivo. Per esempio un chiuso sarebbe l'insieme ${1,4,5}$. Perciò secondo il mio ragionamento l'insieme ${10,11,12,13}$ è un chiuso e quindi la sua chiusura coincide con sè stesso.
Nel punto successivo mi viene richiesto anche di dimostrare che ${7}$ non è un chiuso, ma secondo il mio ragionamento precedente questo insieme sarebbe proprio un chiuso.
Perciò il mio ragionamento è sbagliato, ma in cosa?
Grazie!
Risposte
"arnett":
Ciao
Il generico elemento $B$ di $\mathcal{B}$ è formato da una coppia di numeri naturali successivi che inizia da un numero dispari. Qualcosa del tipo $B_1={1, 2}, B_4={7, 8}$, etc. La scrittura con la doppia graffa è scorretta tra l'altro
Ora cerca di visualizzare quello che sta succedendo (consiglio di disegnare $\mathbb{N}$).
Gli aperti come sono fatti? Saranno unione di elementi della base. Quindi sono aperti cose come ${3, 4, 5, 6}, {1, 2, 7, 8}, {13, 14, 15, 16, ...}$ e non sono aperti cose come ${1}, {2}, {4, 5}, {4, 5, 6, 7}$...
Allora cosa saranno i chiusi? Prova a prendere il complementare e vedere cosa succede.
In questo modo i chiusi, definiti come i complementari di aperti, hanno la stessa struttura degli insiemi definiti come aperti dalla topologia, no? Secondo questo ragionamento la chiusura dell'insieme ${10,11,12,13}$ è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi (che sono a loro volta insiemi formati da coppie di numeri naturali successivi che iniziano con un numeri dispari) che lo contengono, quindi è ${9,10,11,12,13,14}$ (?).
Ho capito che ${7}$ non può essere chiuso, perchè il suo complementare non è un aperto, visto che contiene l'8 ma non il suo dispari precedente che è appunto 7.
"arnett":
Ci sei. A questo punto puoi calcolare come esercizio pure la parte interna di ${10, 11, 12, 13}$. (E magari anche chiusura e parte interna del generico singleton)
La parte interna di ${10,11,12,13}$ dovrebbe essere ${11,12}$, quella di ${7}$ dovrebbe essere l'insieme vuoto e la chiusura di ${7}$ dovrebbe essere ${7,8}$. Confermi?
"arnett":
:smt023
Grazie, mi sei stato di grande aiuto!
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