[Topologia]
Dimostrare che $\mathbb{Q}$ è sconnesso.
Dato che sconnesso vuol dire che è composto dall'intersezione due chiusi/aperti non vuoti io avrei pensato di fare così.
$x,y \in \mathbb{Q}$
$M = \frac{x+y}{2}$
$M'' = M - (\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}$
$M'= M + (\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}$
Allora $A=B_{M''}(x), B=B_M'(y)$
Ho quindi che $A \cap B = \emptyset$ e $A \cup B =\mathbb{Q}$
Che ne dite?
Dato che sconnesso vuol dire che è composto dall'intersezione due chiusi/aperti non vuoti io avrei pensato di fare così.
$x,y \in \mathbb{Q}$
$M = \frac{x+y}{2}$
$M'' = M - (\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}$
$M'= M + (\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}$
Allora $A=B_{M''}(x), B=B_M'(y)$
Ho quindi che $A \cap B = \emptyset$ e $A \cup B =\mathbb{Q}$
Che ne dite?
Risposte
ma così non hai mica due aperti, ne hai un' infinità numerabile... non riesco a capire.
io direi: prendi un intervallo con estremi irrazionali, per esempio $[sqrt(2), sqrt(3)]$ e intersecalo con $QQ$: ottieni un insieme che è ovviamente chiuso, ma anche aperto (è uguale a $(sqrt(2), sqrt(3))nnQQ$) e non è il vuoto e nemmeno tutto lo spazio.
io direi: prendi un intervallo con estremi irrazionali, per esempio $[sqrt(2), sqrt(3)]$ e intersecalo con $QQ$: ottieni un insieme che è ovviamente chiuso, ma anche aperto (è uguale a $(sqrt(2), sqrt(3))nnQQ$) e non è il vuoto e nemmeno tutto lo spazio.
ci ho pensato ma sembrava troppo semplice...
dici che è sbagliato?
direi che sembrerebbe giusto...
EXAMPLE4. The rationals Q are not connected. Indeed, the only connected subspaces
of Q are the one-point sets: If Y is a subspace of Q containing two points p and q, one can
choose an irrational number a lying between p and q, and write Y as the union of the open
sets
$Y nn (-oo, a) and Y nn (a. +oo)$
Sono andato a vedere sul Munkres, questo è a pagina 149. Qui ti dimostra che non solo $QQ$ è sconnesso, ma che è anzi totalmente sconnesso, cioè i suoi unici sottoinsiemi connessi sono i punti singoli. C'è anche un esercizio alla fine del paragrafo:
5. A space is totally disconnected if its only connected subspaces are one-point
sets. Show that if X has the discrete topology, then X is totally disconnected.
Does the converse hold?
E invece prendere un irrazionale $p$ e dire che $\mathbb{Q}$ è tutto contenuto nei due aperti $]-\infty,p[$ e $]p,+\infty[$? Due aperti non fanno un connesso.
(non so nulla di topologia in realtà)
(non so nulla di topologia in realtà)
scusami, intervengo solo ora perché non capivo il testo, o meglio la frase introduttiva del tuo tentativo di soluzione:
"Dato che sconnesso vuol dire che è composto dall'intersezione due chiusi/aperti non vuoti io avrei pensato di fare così."
ora, a questo punto, hai ricevuto risposte abbastanza esaurienti, ma è importante chiarire quello che intendi per "sconnesso":
$(0; 5) nn (2; 8) = (2; 5)$ e non è sconnesso....
casomai, sconnesso è "unione di due insiemi disgiunti": potrei dire "almeno due", ma in tal caso dovrei specificare a due a due disgiunti: infatti
$(0; 5) nn (2; 8) nn (6; 9)=phi$ ma l'unione dei tre insiemi è $(0; 9)$ che non è sconnesso... ciao.
"Dato che sconnesso vuol dire che è composto dall'intersezione due chiusi/aperti non vuoti io avrei pensato di fare così."
ora, a questo punto, hai ricevuto risposte abbastanza esaurienti, ma è importante chiarire quello che intendi per "sconnesso":
$(0; 5) nn (2; 8) = (2; 5)$ e non è sconnesso....
casomai, sconnesso è "unione di due insiemi disgiunti": potrei dire "almeno due", ma in tal caso dovrei specificare a due a due disgiunti: infatti
$(0; 5) nn (2; 8) nn (6; 9)=phi$ ma l'unione dei tre insiemi è $(0; 9)$ che non è sconnesso... ciao.
quindi $(0,5) nn (6,7)$ è sconnesso?
l'intersezione è l'insieme vuoto, quindi no... è l'unione degli stessi intervalli che è sconnessa: $(0,5)uu(6,7)$. ciao.
ho sbagliato simbolo...comunque ora capisco cosa intendi...
Giusto per esser sicuri...mi potresti fare altri esempi?
Giusto per esser sicuri...mi potresti fare altri esempi?
esempi con intervalli se ne possono fare tanti:
sono sconnessi: $(1,4)uu(10,100)$, $[1,2]uu[5,6]$, $(3,5]uu(6,7]$, ${2}uu(3,6]$, $(1,2)uu(2,3)$;
sono connessi: $(0,5)uu(4,8)$, $(0,5)uu[5,6]$, ${1}uu(1,2)$, $[1,2]uu[2,3]$.
come insiemi in generale, in particolare le figure piane come insiemi di punti, considera due o più circonferenze disposte reciprocamente in vari modi:
se sono esterne, l'unione dei due cerchi è sconnessa;
se sono concentriche, la corona circolare è connessa (ma non "semplicemente connessa");
se si intersecano, l'unione dei due cerchi è (semplicemente) connessa;
se prendi tre circonferenze concentriche, l'unione tra il cerchio più piccolo e la corona circolare esterna è sconnessa.
ciao.
sono sconnessi: $(1,4)uu(10,100)$, $[1,2]uu[5,6]$, $(3,5]uu(6,7]$, ${2}uu(3,6]$, $(1,2)uu(2,3)$;
sono connessi: $(0,5)uu(4,8)$, $(0,5)uu[5,6]$, ${1}uu(1,2)$, $[1,2]uu[2,3]$.
come insiemi in generale, in particolare le figure piane come insiemi di punti, considera due o più circonferenze disposte reciprocamente in vari modi:
se sono esterne, l'unione dei due cerchi è sconnessa;
se sono concentriche, la corona circolare è connessa (ma non "semplicemente connessa");
se si intersecano, l'unione dei due cerchi è (semplicemente) connessa;
se prendi tre circonferenze concentriche, l'unione tra il cerchio più piccolo e la corona circolare esterna è sconnessa.
ciao.
grazie molte...
prego.
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