Topologia
Potreste dirmi in cosa consiste la topologia di Zarisky e farmi qualche esempio di essa?
Grazie. Miles.
Grazie. Miles.
Risposte
Come tu ben sai, si può definire una topologia su un insieme stabilendo quali sono gli aperti oppure quali sono i chiusi. Orbene, sia $X$ un insieme, definiamo la topologia di Zarinski (mi pare si scriva così) quella in cui i chiusi sono l'insieme vuoto, $X$ stesso e tutti gli insiemi finiti. Ovviamente se $X$ è un insieme finito, la topologia di Zarinski diventa la topologia discreta e non ha alcun senso introdurla su un insieme finito.
Sono pignolo, ma è Zariski...
Vedi anche
http://it.wikipedia.org/wiki/Topologia_cofinita
http://it.wikipedia.org/wiki/Topologia_di_Zariski
Vedi anche
http://it.wikipedia.org/wiki/Topologia_cofinita
http://it.wikipedia.org/wiki/Topologia_di_Zariski
il effetti la topologia di zarisky è quella degli zeri dei polinomi...
se si prendono polinomi in una sola variabile diventa esattamente quella descritta da Koldar...
se si prendono polinomi in una sola variabile diventa esattamente quella descritta da Koldar...
"SonjaKovaleskaja":
il effetti la topologia di zarisky è quella degli zeri dei polinomi...
se si prendono polinomi in una sola variabile diventa esattamente quella descritta da Koldar...
Sinceramente non conoscevo il nesso con i polinomi... potresti dire qualcosa in più in merito?
la definizione più generale che c'è di topologia di Zariski è la seguente:
sia $A$ una anello commutativo unitario, chiamiamo $Spec(A)$ l'insieme degli ideali primi di $A$. Ora, dato comunque un sottoinsieme $E\subset A$ chiamiamo $\mathcal{V}(E)=\{P\in Spec(A): E\subset P\}$ Allora la famiglia $\{\mathcal{V}(E):E\subset A\}$ è l'insieme dei chiusi della topologia di Zariski.
in particolare se consideriamo come anello $A=K[x_1,\ldots,x_n]$ cioè l'anello dei polinomi a coefficienti in un campo, e il campo è anche algebricamente chiuso, e prendiamo un polinomio $f\in A$ chiamiamo chiuso associato a $f$ l'insieme $\{f(x_1,\ldots,x_n)=0\}\subset K\subset A$...
non so se si vedono le formule perché io in generale non riesco a vederle... (uso konqueror che mozilla mi va troppo lento...)
sia $A$ una anello commutativo unitario, chiamiamo $Spec(A)$ l'insieme degli ideali primi di $A$. Ora, dato comunque un sottoinsieme $E\subset A$ chiamiamo $\mathcal{V}(E)=\{P\in Spec(A): E\subset P\}$ Allora la famiglia $\{\mathcal{V}(E):E\subset A\}$ è l'insieme dei chiusi della topologia di Zariski.
in particolare se consideriamo come anello $A=K[x_1,\ldots,x_n]$ cioè l'anello dei polinomi a coefficienti in un campo, e il campo è anche algebricamente chiuso, e prendiamo un polinomio $f\in A$ chiamiamo chiuso associato a $f$ l'insieme $\{f(x_1,\ldots,x_n)=0\}\subset K\subset A$...
non so se si vedono le formule perché io in generale non riesco a vederle... (uso konqueror che mozilla mi va troppo lento...)
Vi ringrazio. In effetti la topologia cofinita (dei complementari degli insiemi finiti) la conoscevo... Era la questione sui polinomi che mi era poco chiara. Ora tutto ok. 
"SonjaKovaleskaja":
sia $A$ una anello commutativo unitario, chiamiamo $Spec(A)$ l'insieme degli ideali primi di $A$.
Cosa sono gli ideali primi?
"SonjaKovaleskaja":
non so se si vedono le formule perché io in generale non riesco a vederle... (uso konqueror che mozilla mi va troppo lento...)
Sì le vedo correttamente.
"Kroldar":
Cosa sono gli ideali primi?
http://it.wikipedia.org/wiki/Ideale_(matematica)
E' un po' da scaricabarile così, però...
"amel":
http://it.wikipedia.org/wiki/Ideale_(matematica)
E' un po' da scaricabarile così, però...
Tra l'altro nel link che hai postato non è spiegato neppure
è spiegato, ma non riesco a far vedere il link nel modo giusto... fai copia incolla di tutta la riga
Ecco perfetto grazie 
gli ideali primi sono qualcosa di "simile" ai numeri primi, almeno come idea...
un ideale $P$ è primo se $ab\in P\Rightarrow a\in P$ oppure $b\in P$...
come un numero $p$ è primo se $p|ab\Rightarrow p|a$ oppure $p|b$, l'idea di fondo è la stessa! infatti se per anello prendi $\mathbb{Z}$ e consideri un ideale $I$ (dato che gli ideali di $\mathbb{Z}$ sono tutti principali, cioè generati da un solo elemento puoi pensare $I=(n)$) allora l'ideale è primo se e solo se l'elemento che lo genera è primo!
diciamo che gli ideali primi sono l'estensione naturale dei numeri primi...
un ideale $P$ è primo se $ab\in P\Rightarrow a\in P$ oppure $b\in P$...
come un numero $p$ è primo se $p|ab\Rightarrow p|a$ oppure $p|b$, l'idea di fondo è la stessa! infatti se per anello prendi $\mathbb{Z}$ e consideri un ideale $I$ (dato che gli ideali di $\mathbb{Z}$ sono tutti principali, cioè generati da un solo elemento puoi pensare $I=(n)$) allora l'ideale è primo se e solo se l'elemento che lo genera è primo!
diciamo che gli ideali primi sono l'estensione naturale dei numeri primi...
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