Topologia
Ciao a tutti, avrei alcuni dubbi sulla topologia..
$1)$ Nel corso di geometria abbiamo fatto topologia. Ma leggendo qui e la, alla fine mi sono accorta che abbiamo fatto "un'applicazione" della stessa agli spazi metrici.
Quindi mi chiedo.. mi consigliate di studiare topologia da un punto di vista generale (e poi applicare quello che ho studiato al caso appunto degli spazi metrici, soluzione a cui avrei pensato), oppure in quella generale ci sono argomenti che richiedono strumenti avanzati per un secondo anno di matematica, e allora sarebbe meglio studiare topologia degli spazi metrici???
$2)$ Vi trovate meglio definire una topologia in termini di "aperti" o di "chiusi"? e perchè da un punto di vista intuitivo una secondo voi è meglio dell'altra???
$3)$ Partendo dall'inizio della materia ovvero (come fanno quasi tutti gli appunti che ho trovato) dalla definizione di topologia, che cosa mi garantiscono a priori le proprietà nella definizione di topologia? Perchè si richiede la chiusura non necessariamente finita rispetto all'unione, mentre per l'intersezione si richiede che sia finita?
Per ora mi fermo, anche se avrei 10000 di domande!!! Un grazie in anticipo a tutti
!
$1)$ Nel corso di geometria abbiamo fatto topologia. Ma leggendo qui e la, alla fine mi sono accorta che abbiamo fatto "un'applicazione" della stessa agli spazi metrici.
Quindi mi chiedo.. mi consigliate di studiare topologia da un punto di vista generale (e poi applicare quello che ho studiato al caso appunto degli spazi metrici, soluzione a cui avrei pensato), oppure in quella generale ci sono argomenti che richiedono strumenti avanzati per un secondo anno di matematica, e allora sarebbe meglio studiare topologia degli spazi metrici???
$2)$ Vi trovate meglio definire una topologia in termini di "aperti" o di "chiusi"? e perchè da un punto di vista intuitivo una secondo voi è meglio dell'altra???
$3)$ Partendo dall'inizio della materia ovvero (come fanno quasi tutti gli appunti che ho trovato) dalla definizione di topologia, che cosa mi garantiscono a priori le proprietà nella definizione di topologia? Perchè si richiede la chiusura non necessariamente finita rispetto all'unione, mentre per l'intersezione si richiede che sia finita?
Per ora mi fermo, anche se avrei 10000 di domande!!! Un grazie in anticipo a tutti
!
Risposte
Perdonami per il telegramma:
[list=1]
[*:1271onta]segui il primo approccio;[/*:m:1271onta]
[*:1271onta]dipende, e.g.: la topologia naturale sugli \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) la definisci con gli aperti, sugli stessi insiemi la topologia di Zariski la definisci coi chiusi;[/*:m:1271onta]
[*:1271onta]non ho avuto il tempo di leggerla![/*:m:1271onta][/list:o:1271onta]
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[*:1271onta]segui il primo approccio;[/*:m:1271onta]
[*:1271onta]dipende, e.g.: la topologia naturale sugli \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) la definisci con gli aperti, sugli stessi insiemi la topologia di Zariski la definisci coi chiusi;[/*:m:1271onta]
[*:1271onta]non ho avuto il tempo di leggerla![/*:m:1271onta][/list:o:1271onta]
Grazie j18eos lo stesso per il telegramma, aspetto allora quando avrai piu tempo .
Per la $1)$ dici allora che potrei comprendere meglio la topologia partendo da questo caso particolare, o semplicemente perchè non ho ancora strumenti matematici adeguati?
Per la $2)$ non capisco se mi "confermi" che vengono USATE entrambe, oppure se mi stai dicendo che a volte CONVIENE una o l'altra per comprendere meglio la struttura della topologia?
Per la $3$ aspetto
.Per la $1)$ dici allora che potrei comprendere meglio la topologia partendo da questo caso particolare, o semplicemente perchè non ho ancora strumenti matematici adeguati?
Per la $2)$ non capisco se mi "confermi" che vengono USATE entrambe, oppure se mi stai dicendo che a volte CONVIENE una o l'altra per comprendere meglio la struttura della topologia?
Per la $3$ aspetto
Ciao, provo a rispondere alla 3...
da definizione:
Si definisce topologia una collezione $T$ di sottoinsiemi di un insieme $X$ tali che:
- L'insieme vuoto e $X$ appartengono a $T$.
- L'unione di una quantità arbitraria di insiemi appartenenti a $T$ appartiene a $T$.
- L'intersezione di un numero finito di insiemi appartenenti a $T$ appartiene a $T$.
Le proprietà precedenti possono essere espresse in modo equivalente dicendo:
- L'insieme vuoto e $X$ sono aperti.
- L'unione di una qualsiasi famiglia di aperti è un aperto.
- L'intersezione di un numero finito di aperti è un aperto.
Ed è qui che, qualora l'intersezione NON fosse tra un numero finito di aperti, il risultato NON garantirebbe un aperto.
da definizione:
Si definisce topologia una collezione $T$ di sottoinsiemi di un insieme $X$ tali che:
- L'insieme vuoto e $X$ appartengono a $T$.
- L'unione di una quantità arbitraria di insiemi appartenenti a $T$ appartiene a $T$.
- L'intersezione di un numero finito di insiemi appartenenti a $T$ appartiene a $T$.
Le proprietà precedenti possono essere espresse in modo equivalente dicendo:
- L'insieme vuoto e $X$ sono aperti.
- L'unione di una qualsiasi famiglia di aperti è un aperto.
- L'intersezione di un numero finito di aperti è un aperto.
Ed è qui che, qualora l'intersezione NON fosse tra un numero finito di aperti, il risultato NON garantirebbe un aperto.
@Karima,
per quel poco che ho fatto di "topologia" preferisco la Definizione 1.1 che da nei seguenti appunti:
http://www.dmi.unict.it/~villani/Comple ... nerale.pdf
Se non erro il Prodi nel suo testo di analisi matematica usa famiglie (o basi) di intorni per definire una topologia/spazio topologico..
Saluti
"Karima":
$2)$ Vi trovate meglio definire una topologia in termini di "aperti" o di "chiusi"? e perchè da un punto di vista intuitivo una secondo voi è meglio dell'altra???
per quel poco che ho fatto di "topologia" preferisco la Definizione 1.1 che da nei seguenti appunti:
http://www.dmi.unict.it/~villani/Comple ... nerale.pdf
Se non erro il Prodi nel suo testo di analisi matematica usa famiglie (o basi) di intorni per definire una topologia/spazio topologico..
Saluti
[list=1]
[*:2t78sjo1]Mi spiego meglio: se studi topologia riducendoti agli spazi metrici, quando vuoi lavorare con spazi topologici non metrizzabili esci letteralmente pazz*; quindi la topologia si deve studiare in tutta generalità, poi uno usa quel che gli serve e come vuole.[/*:m:2t78sjo1]
[*:2t78sjo1]Ribadisco la risposta: dipende!, e ti ho fatto due esempi classici; tra l'altro, se la topologia di Zariski si volesse direttamente definire tramite gli insiemi aperti, si creerebbero più confusioni che certezze.
Due esempi: gli insiemi aperti sono densi (in tutto lo spazio) e sarebbe abbastanza difficile dimostrare (con gli aperti) che ogni insieme è compatto.[/*:m:2t78sjo1]
[*:2t78sjo1]Più che una risposta ti propongo il seguente esercizio![/*:m:2t78sjo1][/list:o:2t78sjo1]
Su \(\displaystyle\mathbb{R}\) considera la famiglia (dei dischi volanti):
\[
\mathcal{T}=\{\mathbb{R},\emptyset\}\cup\left\{]-r,r[\subseteq\mathbb{R}\mid r\in]0,+\infty[\right\}
\]
per definizione è una topologia per aperti (esercizio).
Secondo te, ignorando le definizioni ed ascoltando il tuo sentore, l'insieme \(\displaystyle\bigcap_{r>0}]-r,r[\) lo definiresti aperto?
[*:2t78sjo1]Mi spiego meglio: se studi topologia riducendoti agli spazi metrici, quando vuoi lavorare con spazi topologici non metrizzabili esci letteralmente pazz*; quindi la topologia si deve studiare in tutta generalità, poi uno usa quel che gli serve e come vuole.[/*:m:2t78sjo1]
[*:2t78sjo1]Ribadisco la risposta: dipende!, e ti ho fatto due esempi classici; tra l'altro, se la topologia di Zariski si volesse direttamente definire tramite gli insiemi aperti, si creerebbero più confusioni che certezze.
Due esempi: gli insiemi aperti sono densi (in tutto lo spazio) e sarebbe abbastanza difficile dimostrare (con gli aperti) che ogni insieme è compatto.[/*:m:2t78sjo1]
[*:2t78sjo1]Più che una risposta ti propongo il seguente esercizio![/*:m:2t78sjo1][/list:o:2t78sjo1]
Su \(\displaystyle\mathbb{R}\) considera la famiglia (dei dischi volanti):
\[
\mathcal{T}=\{\mathbb{R},\emptyset\}\cup\left\{]-r,r[\subseteq\mathbb{R}\mid r\in]0,+\infty[\right\}
\]
per definizione è una topologia per aperti (esercizio).
Secondo te, ignorando le definizioni ed ascoltando il tuo sentore, l'insieme \(\displaystyle\bigcap_{r>0}]-r,r[\) lo definiresti aperto?
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