Topologia

[verdez]

X={(x,y) di R2 t.c. x appartiene a Q} Y è lo stesso insieme con gli x appartenenti però a Z, entrambi dotati della topologia indotta da R2. Esiste un omeomorfismo fra X e Y? E' giusto dire che questo esiste SSE esiste un omeomorfismo fra Q e Z?

[j18eos]

Avrei preferito che tu avessi scritto con le formule... comunque: considera le chiusure di \(X\) ed \(Y\) in \(\mathbb{R}^2\): chi sono?

[verdez]

la chiusura di X è R2 e quella di Y è Y stesso o sbaglio?

[j18eos]

Non sbagli; da ciò cosa ne trai?

[verdez]

che non esiste un omeomorfismo fra Z e Q?

[j18eos]

Sì, perché?

Poi penserò alla domanda che hai posto in secondo piano...

[killing_buddha]

Poi penserò alla domanda che hai posto in secondo piano.

Credo si tratti solo di "qualcosa di falso" $\iff$ "qualcosa di falso"...

[vict85]

"killing_buddha":

Poi penserò alla domanda che hai posto in secondo piano.

Credo si tratti solo di "qualcosa di falso" $\iff$ "qualcosa di falso"...

Io penso che j18eos intendesse il seguente problema:

Sia \(X \) uno spazio topologico “sufficientemente buono”, siano \(A \) e \(B\) due sottoinsiemi di \(X \). DImostrare o confutare che \(A\times X \) è omeomorfo a \(B\times X \) con la topologia indotta se e solo se \(\pi_1(A\times X) \) è isomorfo a \(\pi_1(B\times X) \) dove \( \pi_1 \) è la proiezione sulla prima coordinata e i due spazi hanno la topologia quozionte (questa notazione l'ho usata solo per esplicitare bene che topologia uso nei vari spazi).

Sinceramente penso che possa essere vero e senza dubbio l'implicazione \(\Leftarrow \) è banale. Probabilmente, se è vero, la dimostrazione potrebbe essere categoriale.

P.S.: Il termine “sufficientemente buono” serve per dire: se non è vero in generale, che condizioni sono necessarie per renderlo vero?

[killing_buddha]

Perche' chiedi solo il $\pi_1$ e non un'equivalenza omotopica? In quel caso e' certamente falso, prendi $A=S^n,B=S^m, X=$uno spazio ambiente abbastanza grande ma contrattile, per esempio $\mathbb R^{nm}$, e ottieni che $\pi_1(A\times X)\cong \pi_1(A)\cong \pi_1(B)\cong \pi_1(B\times X)$, ma...

Domande ben poste sarebbero, invece

[*:2c3kxaef] Il funtore dei prodotti $-\times X$ riflette gli isomorfismi, se ristretto a una categoria di "spazi buoni" (compattamente generaty weakly hausdorff, insiemi simpliciali, CW-complessi, ...)?[/*:m:2c3kxaef]
[*:2c3kxaef] Il funtore dei prodotti-modulo-omotopia $-\times_\text{ho}X$ riflette gli isomorfismi in $\text{ho}\mathbf{Top}$, ossia le equivalenze omotopiche in $mathbf{Top}$?[/*:m:2c3kxaef][/list:u:2c3kxaef]

Per la prima, mi sembra di si', era un esercizio di Manetti. Per la seconda, passare all'omotopia distrugge puntualmente ogni sorta di buona proprieta' di (co)completezza, quindi boh.

[j18eos]

@vict85 Sì, esattamente: se \(X; A; B\) sono spazi topologici è vero che \(X\times A\) omeomorfo a \(X\times B\) se e solo se \(A\) è omeomorfo a \(B\)?

Questa è la domanda che mi sono posto!

@kb Se vogliamo abbondare con le ipotesi, anzi con l'indebolire le ipotesi prego: leggerò e interverrò con piacere.

OUT OF SELF Intervengo giusto per chiarire il mio intento; non so quando potrò intervenire con calma. Buona discussione a tutti.

[killing_buddha]

"j18eos":@vict85 Sì, esattamente: se \(X; A; B\) sono spazi topologici è vero che \(X\times A\) omeomorfo a \(X\times B\) se e solo se \(A\) è omeomorfo a \(B\)?

In effetti e' falsa:

[vict85]

Beh, mistero svelato ... Comunque avevo usato \(\pi_1\) per indicare la proiezione sulla prima coordinata, il riferimento al primo gruppo fondamentale era assolutamente involontario.

[j18eos]

@k_b Quale libro di testo hai consultato?

[killing_buddha]

La "Topologia" di Manetti