[Top.Algebrica] Rivestimenti ed esercizi

[Seneca1]

1. Premetto che, al di là delle definizioni astratte, non ho ancora compreso geometricamente cosa significhi sollevare un cammino o sollevare una omotopia di cammini (lifting). Quindi, se qualcuno vuole spendere due parole per favorire l'approccio intuitivo e geometrico a questi concetti, anche se l'esercizio che segue non c'entra con ciò, è il benvenuto.

2. Vorrei avere un parere sullo svolgimento del seguente esercizio:

Esercizio. Un rivestimento $p : E \to B$ è una mappa aperta.

Sia $p$ un rivestimento e $A \subset E$ aperto; devo provare che $p(A)$ è aperto in $B$. Sia $b \in p(A)$ arbitrario, allora, poiché $p$ è un rivestimento, esiste un intorno $U_b$ di $b$ che è evenly covered by $p$, cioè \(\displaystyle \bigcup_{\alpha \in J} V_\alpha = p^{-1}(U_b) \) con $V_\alpha$ aperti disgiunti in $E$ e tali che $p_{| V_\alpha} : V_\alpha \to U_b$ sia un omeomorfismo. Sia $a \in A \cap V_{\overline{\alpha}}$ tale che $p(a) = b$; poiché $p_{|V_{\overline{\alpha}} } : V_{\overline{\alpha}} \to U_b$ è un omeomorfismo, si ha che $p_{|V_{\overline{\alpha}} } ( A \cap V_{\overline{\alpha}} )$ è un intorno aperto (*) di $b$ contenuto in $p(A)$. Allora $p(A)$ è aperto, in virtù dell'arbitrarietà di $b$.

(*): Credo - ma su questo punto non sono un granché sicuro - che $p_{|V_{\overline{\alpha}} } ( A \cap V_{\overline{\alpha}} )$ sia aperto in $U_b$; ma allora dovrà essere $ p_{|V_{\overline{\alpha}} } ( A \cap V_{\overline{\alpha}} ) = U_b \cap W$ dove $W$ è aperto in $B$ e $U_b$ aperto evenly covered (def. prima). Allora, poiché $U_b$ e $W$ sono aperti in $B$, l'intersezione è aperta in $B$ e quindi $p_{|V_{\overline{\alpha}} } ( A \cap V_{\overline{\alpha}} )$ è aperto in $B$.

Come vi sembra?

[Alexp1]

Ciao, secondo me è corretto!

Sollevamento di un arco
Siano $p:(Y, y_0)->(X, x_0)$ un rivestimento e $\alpha$ un arco in $X$ di punto iniziale $x_0$, allora esisterà un unico arco $\alpha'_(y_0)$ in $Y$ tale che $p o \alpha'_(y_0)=\alpha$ ed $\alpha'_(y_0)$ prende il nome di sollevamento dell'arco $\alpha$.

In pratica prende il nome di "sollevamento" l'arco posto su $Y$ che tramite $p$ fornisce l'arco scelto su $X$. Ovviamente il sollevamento dipende dal punto iniziale $y_0$, per ogni scelta di $y \in p^(-1)(x_0)$, il teorema fornisce un diverso sollevamento.

[Seneca1]

Ti ringrazio Alexp!

Ho un altro problema: se $p : E -> B$ è un rivestimento e ogni fibra è finita, allora, preso $b \in B$ e preso un aperto $A$ tale che $A \supset p^{-1}(b)$, esiste un intorno $W_b$ di $b$ tale che $p^{-1}(W_b) \subset A$.

Nella dimostrazione che leggo di questo fatto si dice: sia $U_b$ un intorno evenly covered by $p$ di $b$. Allora \( \displaystyle \bigcup_{i = 1}^n V_{\alpha_i} = p^{-1}(U_b) \) unione disgiunta; qui mi blocco. Questo viene giustificato dicendo che $p^{-1}(b)$ è finito per ogni $b \in B$. Tuttavia non riesco a convincermi che bastino solo un numero finito di aperti disgiunti $V_\alpha$...

Grazie in anticipo.

[Alexp1]

Ciao Seneca,
non sono espertissimo di Topologia Algebrica, però da quello che ho studiato e secondo il mio parare, ma magari conviene sentire anche qualcun'altro ... se hai che ogni fibra è finita, significa che la cardinalità sarà finita, quindi che "il numero dei fogli" del rivestivento sarà finito, ossia l'unione di aperti disgiunti è finita.

[killing_buddha]

Questa soluzione si basa sulla possibilita' di trovare una base di aperti banalizzanti per il rivestimento.

Se il rivestimento ha fibre $\{F_x\}$ e una base di aperti $\{U_x\}$ banalizzanti, allora detto $U\in\{U_x\}$ si ha $p|_U\cong\text{proj}_U$, dove $\text{proj}_U : U\times F\to U$ e' la proiezione sul primo fattore: la seconda e' una mappa aperta, dunque lo e' la prima; una mappa che e' aperta su una base, e' aperta dappertutto.

[Seneca1]

Vorrei chiedere lumi intorno ad un quesito abbastanza banale che mi ero posto. Se $X , Y$ sono due spazi omeomorfi, allora è vero che esistono $p \in X$ e $q \in Y$ tali che $X - p$ è omeomorfo ad $Y - q$?

[perplesso1]

Scusami se dico una cavolata... Ma non basta scegliere $q = f(p)$ essendo $f:X -> Y$ un omeomorfismo ??

[killing_buddha]

"Seneca":Vorrei chiedere lumi intorno ad un quesito abbastanza banale che mi ero posto. Se $X , Y$ sono due spazi omeomorfi, allora è vero che esistono $p \in X$ e $q \in Y$ tali che $X - p$ è omeomorfo ad $Y - q$?

Parzialmente collegato: click

[Seneca1]

"perplesso":Scusami se dico una cavolata... Ma non basta scegliere $q = f(p)$ essendo $f:X -> Y$ un omeomorfismo ??

Sì, certo. Lo scopo di questa considerazione è mostrare che $RR$ e $RR^n$ non sono omeomorfi quando $n > 1$. Se è vero quanto ho scritto sopra, supponendo che i due spazi siano omeomorfi, posso considerare $p \in RR$ e $q \in RR^n$ arbitrari; ma $RR - p$ è sconnesso $\forall p \in RR$ mentre $RR^n - q$ è connesso $\forall q \in RR^n$. Allora i due spazi $RR$, $RR^n$ non erano omeomorfi.

Giusto?


@killing_buddha: Non riesco ad intravedere il collegamento.

[Seneca1]

Up.

[Alexp1]

Ciao Seneca,
Si, quello che dici è corretto...esiste un teorema/corollario che dice:
"dati due spazi omeomorfi, rimuovendo un punto da ognuno di essi, gli insiemi 'punturati' risultanti sono ancora omeomorfi".

Comunque, per dimostrare che $RR$ non è omeomorfo ad $RR^n$ quando $n>1$ basta considerare il teorema "dell'invarianza della dimensione"...

[Seneca1]

Purtroppo nel corso che ho seguito non si è parlato di dimensione. Comunque ti ringrazio della conferma, Alexp!

[Seneca1]

Ho un'altra domanda. Lo spazio $RR \mathbb{P}^2$ (lo spazio proiettivo reale) è $\{ [x] = \{ - x , x \} : ||x|| = 1 , x \in RR^3 \}$.

Questo spazio mi sembra (ed evidentemente qui cado in fallo) omeomorfo alla semisfera il cui bordo è privato di una semicirconferenza (eccettuato un estremo). Cioè, per intenderci, $S^2 \setminus \{ x = (x_1 , x_2 , x_3 ) \in RR^3 : x_3 > 0 \text{ o } ( x_3 = 0 , y = \sqrt{ 1 - x^2 } ) \} \setminus \{ (1 , 0 , 0 ) \}$ .

Non riesco a vedere come il gruppo fondamentale $\pi_1 (RR \mathbb{P}^2 , [x_0])$ di questo spazio è isomorfo a $ZZ_2$. A me sembra semplicemente connesso: qualcuno saprebbe indicarmi un cammino non omotopo al cammino costante $c_{[x_0]}$?

Grazie.

EDIT: Aggiungo un'altra domanda: esiste un modo elementare per calcolare il gruppo fondamentale di $X = RR^3 \setminus \{\text{asse z} \}$ ?

[Seneca1]

Up.

[apatriarca]

Mi stupisce che lo spazio proiettivo non ti sia stato spiegato con maggiori dettagli (o che non sia stato trattato a fondo come esempio). In ogni caso il tuo omeomorfismo non mi sembra così evidente, direi che è anzi proprio sbagliato. $\mathbb{R P}^2$ è omeomorfo ad un disco incollato ad una retta proiettiva $\mathbb{R P}^1$ in modo che i punti antipodali sul bordo siano identificati (e a molti altri spazi). In che modo passeresti allo spazio da te descritto? Un cammino non omotopo al cammino costante è proprio il cammino lungo il bordo da un punto a quello antipodale.

Per quanto riguarda $\mathbb R^3- \pi$ (dove $\pi$ è una qualsiasi retta), basta osservare che il cilindro ne è un retratto forte di deformazione (e quindi anche la circonferenza).

[Seneca1]

Ti ringrazio. Avevo preso un enorme abbaglio.