Togliere un punto da una varietà connessa di dimensione \( \geqq 2 \) non la disconnette
Sia \( X \) una varietà liscia connessa di dimensione \( n \geqq 2 \). Sia \( x\in X \). Voglio provare che lo spazio \( X\setminus\{x\} \) è ancora connesso.
L'idea è la seguente. Siano \( y \) e \( z \) due punti di \( X\setminus\{x\} \) e \( \gamma_1\colon [0,1]\to X \) e \( \gamma_2\colon [0,1]\to X \) due archi in \( X \) tali che \( \gamma_1(0) = y \), \( \gamma_1(1) = x = \gamma_2(0) \) e \( \gamma_2(1) = z \). Senza perdita di generalità possiamo anche supporre che per ogni \( t\in [0,1] \) sia \( \gamma_1(t)\neq x \) se \( t\neq 1 \) e \( \gamma_2(t)\neq x \) se \( t\neq 0 \). Sia \( (U,\phi) \) una carta su \( X \) tale che \( x\in U \). Senza perdita di generalità possiamo supporre che \( \phi(x) = 0 \) e che \( \phi(U) \) sia il disco unitario \( D^n \) di \( \mathbb R^n \). Esistono \( t_1\neq 1 \) e \( t_2\neq 0 \) tali che \( \gamma_1(t_1),\gamma_2(t_2)\in U \), e senza perdita di generalità possiamo assumere che \( \gamma_1 \) sia una curva che connette \( y \) con \( \gamma_1(t_1) \), e \( \gamma_2 \) sia una curva che connette \( x \) con \( \gamma_2(t_2) \). Ora, il disco unitario di \( \mathbb R^n \) è connesso per archi, e lo è anche l'insieme \( D^n\setminus\{0\} \) se \( n\geqq 2 \). Quindi, è connesso per archi anche \( U\setminus \{x\} \). Allora tutto \( X\setminus \{x\} \) è connesso per archi. \( \square \)
Giustificare i wlog è abbastanza laborioso. Vorrei prima capire se la dimostrazione che ho scritto va bene e non è inutilmente complicata. Ciao!
L'idea è la seguente. Siano \( y \) e \( z \) due punti di \( X\setminus\{x\} \) e \( \gamma_1\colon [0,1]\to X \) e \( \gamma_2\colon [0,1]\to X \) due archi in \( X \) tali che \( \gamma_1(0) = y \), \( \gamma_1(1) = x = \gamma_2(0) \) e \( \gamma_2(1) = z \). Senza perdita di generalità possiamo anche supporre che per ogni \( t\in [0,1] \) sia \( \gamma_1(t)\neq x \) se \( t\neq 1 \) e \( \gamma_2(t)\neq x \) se \( t\neq 0 \). Sia \( (U,\phi) \) una carta su \( X \) tale che \( x\in U \). Senza perdita di generalità possiamo supporre che \( \phi(x) = 0 \) e che \( \phi(U) \) sia il disco unitario \( D^n \) di \( \mathbb R^n \). Esistono \( t_1\neq 1 \) e \( t_2\neq 0 \) tali che \( \gamma_1(t_1),\gamma_2(t_2)\in U \), e senza perdita di generalità possiamo assumere che \( \gamma_1 \) sia una curva che connette \( y \) con \( \gamma_1(t_1) \), e \( \gamma_2 \) sia una curva che connette \( x \) con \( \gamma_2(t_2) \). Ora, il disco unitario di \( \mathbb R^n \) è connesso per archi, e lo è anche l'insieme \( D^n\setminus\{0\} \) se \( n\geqq 2 \). Quindi, è connesso per archi anche \( U\setminus \{x\} \). Allora tutto \( X\setminus \{x\} \) è connesso per archi. \( \square \)
Giustificare i wlog è abbastanza laborioso. Vorrei prima capire se la dimostrazione che ho scritto va bene e non è inutilmente complicata. Ciao!
Risposte
Usa Mayer-Vietoris sul covering {un intorno del buco, \(X \setminus \{x\}\)}: ti viene che l'\(H^0\) è (libero e) di rango 1 come quello di tutta $X$.
Non ho mai studiato [strike]Mayer-Vietoris[/strike] topologia, gr.
E' un ottimo momento per iniziare!
Potresti osservare che se $X-{p}$ è sconnesso allora per ogni aperto $U$ di $X$ contenente $p$, lo spazio $U-{p}$ è sconnesso.
In questo modo ti riduci al caso locale, cioè agli aperti di $RR^n$.
In questo modo ti riduci al caso locale, cioè agli aperti di $RR^n$.
Ottimo! Non mi era venuto in mente. Grazie mille:)
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