Testo esame
Considerare l'applicazione lineare $f : R^3\rightarrow R^4 $ cui è associata alla matrice $$
\left(
\begin{array}{cc}
2 & 4& 1 \\ 1 & -3 & -7 \\
-3 & 1 & 9 \\ 5 & 7 & -2 \end{array}
\right)
$$
A) Trovare equazioni parametriche e cartesiane di ker(f)
B) Provare che $ B= ( f(2e_i - e_2 +e_3), f(4e_1 - 2e_2 +e_3)) $ è una base di Im(f)
e che $ v = e_1 - 12e_2 + 16e_3 - 5e_4 \in Im(f), $trovando $ [v]_B $
C) Trovare le equazioni cartesiane di Imm(f).
Vi do i risultati:
A) Ker(f) = $$
\left(
\begin{array}{cc}
5 \\ -3 \\2
\\ \end{array}
\right)
$$
$ [v]_B.$ = $$
\left(
\begin{array}{cc}
3 \\ -2 \end{array}
\right)
$$
C) $$
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -2& 2 &1 \\ 1 & 3 & -5 &4 \end{array}
\right)^T
$$
L'esponente T indica "trasposto".
L'unica cosa che mi torna è il nucleo (domanda A)
Vi ringrazio in anticipo-Ricca
\left(
\begin{array}{cc}
2 & 4& 1 \\ 1 & -3 & -7 \\
-3 & 1 & 9 \\ 5 & 7 & -2 \end{array}
\right)
$$
A) Trovare equazioni parametriche e cartesiane di ker(f)
B) Provare che $ B= ( f(2e_i - e_2 +e_3), f(4e_1 - 2e_2 +e_3)) $ è una base di Im(f)
e che $ v = e_1 - 12e_2 + 16e_3 - 5e_4 \in Im(f), $trovando $ [v]_B $
C) Trovare le equazioni cartesiane di Imm(f).
Vi do i risultati:
A) Ker(f) = $$
\left(
\begin{array}{cc}
5 \\ -3 \\2
\\ \end{array}
\right)
$$
$ [v]_B.$ = $$
\left(
\begin{array}{cc}
3 \\ -2 \end{array}
\right)
$$
C) $$
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -2& 2 &1 \\ 1 & 3 & -5 &4 \end{array}
\right)^T
$$
L'esponente T indica "trasposto".
L'unica cosa che mi torna è il nucleo (domanda A)
Vi ringrazio in anticipo-Ricca
Risposte
Ciao, per non darti subito la soluzione (cosa che sarebbe poco utile) provo a farti ragionare:
1) calcola le immagini dei due vettori calcolando il prodotto $$Av$$ dove $A$ è la matrice associata all'applicazione e $v$ il vettore.
2) trova una base dell'immagine, ragionando su quali valori di $a, b, c, d$ rendono risolvibile il sistema associato alla seguente matrice$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
2&4&1&a\\1&-3&-7&b\\-3&1&9&c\\5&7&-2&d
\end{array}\right)
$$
3) dimostra che le due coppie di vettori generano lo stesso sottospazio vettoriale: affiancali e prova che il rango della matrice è $2$. Questo significa che gli altri due vettori sono combinazione lineare dei primi
4) per dimostrare che un vettore appartiene al sottospazio immagine conoscendone la base è sufficiente provare che esso è combinazione lineare dei vettori della base
Facci sapere come va.
1) calcola le immagini dei due vettori calcolando il prodotto $$Av$$ dove $A$ è la matrice associata all'applicazione e $v$ il vettore.
2) trova una base dell'immagine, ragionando su quali valori di $a, b, c, d$ rendono risolvibile il sistema associato alla seguente matrice$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
2&4&1&a\\1&-3&-7&b\\-3&1&9&c\\5&7&-2&d
\end{array}\right)
$$
3) dimostra che le due coppie di vettori generano lo stesso sottospazio vettoriale: affiancali e prova che il rango della matrice è $2$. Questo significa che gli altri due vettori sono combinazione lineare dei primi
4) per dimostrare che un vettore appartiene al sottospazio immagine conoscendone la base è sufficiente provare che esso è combinazione lineare dei vettori della base
Facci sapere come va.
Si ho provato e vengono 2 coefficienti liberi e due indipendenti ma ... non so come continuare. Per favore aiutatemi, Grazie. 
scusate, ma il mio problema è così ovvio da non meritare altre risposte o suggerimenti? devo preoccuparmi allora! Vi prego, qualcuno mi aiuti. Grazie.
Hai trovato l'immagine dei due vettori? Vengono \(\begin{pmatrix}1\\-2\\2\\1\end{pmatrix}\) e \(\begin{pmatrix}1\\3\\-5\\4\end{pmatrix}\).
Bene, adesso ricaviamo una base per l'immagine trovando quali valori di $a, b, c, d$ rendono risolvibile il sistema rappresentato dalla matrice$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
2&4&1&a\\1&-3&-7&b\\-3&1&9&c\\5&7&-2&d
\end{array}\right)
$$ Il rango della matrice incompleta è $2$, quindi prendiamo ad esempio il minore $$
\left(
\begin{array}{cc}
2&4\\1&-3
\end{array}
\right)
$$ e lo orliamo con elementi della quarta colonna, imponendo che i determinanti siano nulli. Ricaviamo il seguente sistema:$$
\begin{cases}
-8a-14b-10c=0\\
22a+6b-10d=0
\end{cases}
$$ che ha la seguente soluzione (scegliendo $c, d$ come parametri):$$
c\begin{pmatrix}3\\-11\\13\\0\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}7\\-4\\0\\13\end{pmatrix}
$$ Questi due vettori rappresentano dunque una base per $Im f$. Per provare che generano lo stesso sottospazio dei vettori precedenti affianchiamoli in una matrice:$$
\begin{pmatrix}
1&1&3&7\\-2&3&-11&-4\\2&-5&13&0\\1&4&0&13
\end{pmatrix}
$$ Portiamo la matrice in forma triangolare e otteniamo$$
\begin{pmatrix}
1&1&3&7\\
0&5&-5&10\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}
$$ da cui si capisce che il terzo e il quarto vettore sono combinazione lineare dei primi due.
Tutto chiaro?
Bene, adesso ricaviamo una base per l'immagine trovando quali valori di $a, b, c, d$ rendono risolvibile il sistema rappresentato dalla matrice$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
2&4&1&a\\1&-3&-7&b\\-3&1&9&c\\5&7&-2&d
\end{array}\right)
$$ Il rango della matrice incompleta è $2$, quindi prendiamo ad esempio il minore $$
\left(
\begin{array}{cc}
2&4\\1&-3
\end{array}
\right)
$$ e lo orliamo con elementi della quarta colonna, imponendo che i determinanti siano nulli. Ricaviamo il seguente sistema:$$
\begin{cases}
-8a-14b-10c=0\\
22a+6b-10d=0
\end{cases}
$$ che ha la seguente soluzione (scegliendo $c, d$ come parametri):$$
c\begin{pmatrix}3\\-11\\13\\0\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}7\\-4\\0\\13\end{pmatrix}
$$ Questi due vettori rappresentano dunque una base per $Im f$. Per provare che generano lo stesso sottospazio dei vettori precedenti affianchiamoli in una matrice:$$
\begin{pmatrix}
1&1&3&7\\-2&3&-11&-4\\2&-5&13&0\\1&4&0&13
\end{pmatrix}
$$ Portiamo la matrice in forma triangolare e otteniamo$$
\begin{pmatrix}
1&1&3&7\\
0&5&-5&10\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}
$$ da cui si capisce che il terzo e il quarto vettore sono combinazione lineare dei primi due.
Tutto chiaro?
grazie, molto meglio direi! Manca solo di trovare le componenti che ovviamente non mi tornano.
Per trovare le componenti dobbiamo esprimere il vettore dato come combinazione lineare dei vettori della base $\mathfrak{B}$. Quindi $$
\begin{pmatrix}1\\-12\\16\\-5\end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix}1\\-2\\2\\1\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}1\\3\\-5\\4\end{pmatrix}
$$ Se troviamo che il sistema non ammette soluzioni avremo dimostrato che il vettore non appartiene al sottospazio-immagine, altrimenti i valori di $\alpha, \beta$ saranno le componenti che stiamo cercando.
Riscriviamo il sistema come $$
\begin{cases}
\alpha + \beta = 1\\
-2\alpha + 3\beta = -12\\
2\alpha - 5\beta = 16\\
\alpha + 4\beta = -5
\end{cases}
$$ Risolviamo e ottieniamo la soluzione $$\begin{cases}\alpha = 3\\\beta = -2\end{cases}$$
Fai sapere se hai altri dubbi.
\begin{pmatrix}1\\-12\\16\\-5\end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix}1\\-2\\2\\1\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}1\\3\\-5\\4\end{pmatrix}
$$ Se troviamo che il sistema non ammette soluzioni avremo dimostrato che il vettore non appartiene al sottospazio-immagine, altrimenti i valori di $\alpha, \beta$ saranno le componenti che stiamo cercando.
Riscriviamo il sistema come $$
\begin{cases}
\alpha + \beta = 1\\
-2\alpha + 3\beta = -12\\
2\alpha - 5\beta = 16\\
\alpha + 4\beta = -5
\end{cases}
$$ Risolviamo e ottieniamo la soluzione $$\begin{cases}\alpha = 3\\\beta = -2\end{cases}$$
Fai sapere se hai altri dubbi.
"ricca":
grazie, molto meglio direi! Manca solo di trovare le componenti che ovviamente non mi tornano.
[xdom="Seneca"]Nel regolamento del forum c'è scritto chiaramente che è necessario dimostrare di aver tentato di risolvere l'esercizio; non basta limitarsi a scrivere "non mi è venuto, mi mostrate voi come si fa?". La prossima volta mi aspetto che tu proponga il tuo tentativo di risoluzione (anche se errato). Grazie.[/xdom]
Seneca scusami, hai pienamente ragione ma a volte uno si vergogna di scrivere quelle poche righe che ha fatto per poi non arrivare a nulla. Vedrò la prossima occasione di scrivere quello che ho tentato di fare e grazie a mnemonic che mi ha dato un aiuto grandissimo. Scusa ancora.
Mnemonic? Bello... 
"minomic":
Mnemonic? Bello...
va beh dai!
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