Testo esame
Al variare di K in $C$ si considerti in $C^3$ il sottospazio affine $$E_k= \left(\begin{array}{cc}i \\1\\2ik\end{array}\right)+Span\left(\begin{array}{cc}2-i \\ i \\1+2i\end{array}\right), \left(\begin{array}{cc}3+k\\k(1+i) \\3k-1\end{array}\right),$$.
A) si calcoli la dim(E) per ogni k.
B) Si trovino le equazioni cartesiane di $E_0$.
C) Si determini k affinché $E_k$ passi per il punto $$\left(\begin{array}{cc}0 \\ 2i \\5\end{array}\right),$$
Non metto traccia della mia soluzione perché, mi scuso, ma non so proprio come partire .... e come arrivare. Grazie veramente a tutti per l'infinito aiuto.
A) si calcoli la dim(E) per ogni k.
B) Si trovino le equazioni cartesiane di $E_0$.
C) Si determini k affinché $E_k$ passi per il punto $$\left(\begin{array}{cc}0 \\ 2i \\5\end{array}\right),$$
Non metto traccia della mia soluzione perché, mi scuso, ma non so proprio come partire .... e come arrivare. Grazie veramente a tutti per l'infinito aiuto.
Risposte
qualcuno mi aiuta? Mi è sufficiente una traccia e se c'é differenza dal lavorare in $ C o R$.
Riguardiamo (come si evince dal testo) \( \mathbb{C}^3 \) come \( \mathbb{C} \)- spazio vettoriale. Allora, con ovvio significato dei simboli
\[ E_k = P_0(k) + Span(v_1,v_2(k)). \]
Per ogni fissato valore di \(k\), la dimensione di \( E_k \) è per definizione la dimensione della sua giacitura, e pertanto è \( dim(E_k) = 2 \) per i \(k\) tali che \( v_1 \) e \( v_2(k) \) sono indipendenti e \( dim(E_k) = 1 \) per quei \( k \) tali che esista \( \lambda \in \mathbb{C} \) tale che \( v_2(k) = \lambda v_1 \) (ce ne sono?).
Per quanto concerne le equazioni cartesiane di \(E_0\) scrivi il generico punto \(P \in E_0\) come
\[ P = P_0(0) + \alpha v_1 + \beta v_2(0), \]
con \( \alpha \) e \( \beta \) complessi. Passa in componenti \( (z_1,z_2,z_3) \) e troverai tre equazioni. Determina \( \alpha \) e \( \beta \) da due di esse e sostituisci nella terza, e avrai la tua equazione cartesiana.
Ora ti è venuta anche un'idea per risolvere (c)?
\[ E_k = P_0(k) + Span(v_1,v_2(k)). \]
Per ogni fissato valore di \(k\), la dimensione di \( E_k \) è per definizione la dimensione della sua giacitura, e pertanto è \( dim(E_k) = 2 \) per i \(k\) tali che \( v_1 \) e \( v_2(k) \) sono indipendenti e \( dim(E_k) = 1 \) per quei \( k \) tali che esista \( \lambda \in \mathbb{C} \) tale che \( v_2(k) = \lambda v_1 \) (ce ne sono?).
Per quanto concerne le equazioni cartesiane di \(E_0\) scrivi il generico punto \(P \in E_0\) come
\[ P = P_0(0) + \alpha v_1 + \beta v_2(0), \]
con \( \alpha \) e \( \beta \) complessi. Passa in componenti \( (z_1,z_2,z_3) \) e troverai tre equazioni. Determina \( \alpha \) e \( \beta \) da due di esse e sostituisci nella terza, e avrai la tua equazione cartesiana.
Ora ti è venuta anche un'idea per risolvere (c)?
Cominciamo dal primo punto, la dimensione dipende solo dal sottospazio vettoriale associato, quindi devi trovare la dimensione o controllando il rango o vedendo ad occhi se sono multipli. Col rango viene:
$rk ((2-i, 3+k),(i, k(1+i)),(1+2i,3k-1))$
Cerchiamo di annullare il primo minore:
$|(2-i, 3+k),(i, k(1+i))|=0 => k(3+i)=(3+k)i =>k=i$
Quindi se $k=i$ allora si annulla il primo minore proviamo a vedere se i vettori sono proporzionali:
$rk ((2-i, 3+i),(i, i(1+i)),(1+2i,3i-1))$
Dalla seconda riga si vede che il fattore di proporzionalità, se c'è, è $1+i$ vediamo se vale sulla terza:
$(1+2i)(1+i)=-1+3i$
Allora $i$ è un valore di $k$ per cui il $rk=1$. Questo è l'unico in quanto il fattore k è presente solo al primo grado
Le equazioni cartesiane saranno:
$\{(x=i+2t-ti+3s),(y=1+ti),(z=t+2ti-s):} => {(t=i(1-y)),(s=(2-i)(y-1)-z),(x=(5-5i)y-3z+6+5i):} $
L'ultimo devi trovare che quel punto è combinazione lineare:
${(0=i+2t-ti+3s+ks),(2i=1+ti+k(1+i)s),(5=t+2ti+3ks-s):}$
Risolvilo e trovi k
$rk ((2-i, 3+k),(i, k(1+i)),(1+2i,3k-1))$
Cerchiamo di annullare il primo minore:
$|(2-i, 3+k),(i, k(1+i))|=0 => k(3+i)=(3+k)i =>k=i$
Quindi se $k=i$ allora si annulla il primo minore proviamo a vedere se i vettori sono proporzionali:
$rk ((2-i, 3+i),(i, i(1+i)),(1+2i,3i-1))$
Dalla seconda riga si vede che il fattore di proporzionalità, se c'è, è $1+i$ vediamo se vale sulla terza:
$(1+2i)(1+i)=-1+3i$
Allora $i$ è un valore di $k$ per cui il $rk=1$. Questo è l'unico in quanto il fattore k è presente solo al primo grado
Le equazioni cartesiane saranno:
$\{(x=i+2t-ti+3s),(y=1+ti),(z=t+2ti-s):} => {(t=i(1-y)),(s=(2-i)(y-1)-z),(x=(5-5i)y-3z+6+5i):} $
L'ultimo devi trovare che quel punto è combinazione lineare:
${(0=i+2t-ti+3s+ks),(2i=1+ti+k(1+i)s),(5=t+2ti+3ks-s):}$
Risolvilo e trovi k
grazie.
"s.stuv":
Riguardiamo (come si evince dal testo) \( \mathbb{C}^3 \) come \( \mathbb{C} \)- spazio vettoriale. Allora, con ovvio significato dei simboli
\[ E_k = P_0(k) + Span(v_1,v_2(k)). \]
Per ogni fissato valore di \(k\), la dimensione di \( E_k \) è per definizione la dimensione della sua giacitura, e pertanto è \( dim(E_k) = 2 \) per i \(k\) tali che \( v_1 \) e \( v_2(k) \) sono indipendenti e \( dim(E_k) = 1 \) per quei \( k \) tali che esista \( \lambda \in \mathbb{C} \) tale che \( v_2(k) = \lambda v_1 \) (ce ne sono?).
Per quanto concerne le equazioni cartesiane di \(E_0\) scrivi il generico punto \(P \in E_0\) come
\[ P = P_0(0) + \alpha v_1 + \beta v_2(0), \]
con \( \alpha \) e \( \beta \) complessi. Passa in componenti \( (z_1,z_2,z_3) \) e troverai tre equazioni. Determina \( \alpha \) e \( \beta \) da due di esse e sostituisci nella terza, e avrai la tua equazione cartesiana.
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