Terzo assioma di Hausdorff
Ciao, amici! Osservando i quattro assiomi di Hausdorff noto che il quarto è l'assioma di separazione che definisce uno spazio di Hausdorff. Il primo e il secondo mi sembrano soddisfatti da qualunque spazio topologico, nell'accezione contemporanea.
Il quarto mi sembra soddisfatto da intorni aperti, ma non in generale dagli intorni di un punto in uno spazio topologico. Giusto? Mi chiedo se questi assiomi definiscano gli intorni che oggi chiamiamo intorni aperti...
$\infty$ grazie a chi mi aiuterà a chiarirmi le idee...
Il quarto mi sembra soddisfatto da intorni aperti, ma non in generale dagli intorni di un punto in uno spazio topologico. Giusto? Mi chiedo se questi assiomi definiscano gli intorni che oggi chiamiamo intorni aperti...
$\infty$ grazie a chi mi aiuterà a chiarirmi le idee...
Risposte
@DavideGenova,
ti parlo da profano, e per semplice curiosità, "cosa intendi per intorni aperti?"
Nei miei studi un intorno di un punto è un insieme che contiene almeno una palla centrata in quel punto... con intorni aperti che intendi?
Saluti
"DavideGenova":
Ciao, amici! Osservando i quattro assiomi di Hausdorff noto che il quarto è l'assioma di separazione che definisce uno spazio di Hausdorff. Il primo e il secondo mi sembrano soddisfatti da qualunque spazio topologico, nell'accezione contemporanea.
Il quarto mi sembra soddisfatto da intorni aperti, ma non in generale dagli intorni di un punto in uno spazio topologico. Giusto? Mi chiedo se questi assiomi definiscano gli intorni che oggi chiamiamo intorni aperti...
$\infty$ grazie a chi mi aiuterà a chiarirmi le idee...
ti parlo da profano, e per semplice curiosità, "cosa intendi per intorni aperti?"
Nei miei studi un intorno di un punto è un insieme che contiene almeno una palla centrata in quel punto... con intorni aperti che intendi?
Saluti
Intendo semplicemente un intorno che sia anche un aperto della topologia relativa allo spazio topologico che si sta considerando*, nel caso particolare di uno spazio metrico ciò equivale ad un sottoinsieme aperto che contenga una palla centrata in quel punto. Per esempio sul piano euclideo un poligono con il contorno, o privato di solo uno, o due, dei segmenti che ne definiscono i lati, è un intorno di ogni punto $x$ che non appartenga a uno dei lati, ma non è aperto (nel primo caso è però un chiuso), mentre se tale poligono è privato di tutta la frontiera costituita dai lati allora è un intorno aperto.
*Non necessariamente metrico, definendo un intorno $N$ di $x\in X$ come un sottoinsieme dello spazio topologico $X$ che contiene un aperto $A$ il quale a sua volta contiene $x\in A\subset N$.
*Non necessariamente metrico, definendo un intorno $N$ di $x\in X$ come un sottoinsieme dello spazio topologico $X$ che contiene un aperto $A$ il quale a sua volta contiene $x\in A\subset N$.
Esiste una definizione alternativa degli spazi topologici che è fatta a partire dagli intorni e che definisce gli aperti come spazi che sono intorni di ogni loro punto.
Ho scritto questo post, poi ho letto meglio la tua domanda e mi sono accorto che forse un "SI" bastava. Comunque, già che ormai l'ho scritto, lo lascio scritto. Praticamente è la prima ora (fatta di corsa) di un corso di topologia. In ogni caso, come già detto, la risposta alla tua domanda è "sì". I primi tre punti dell'articolo che hai postato definiscono gli assiomi che devono essere soddisfatti dalla famiglia degli intorni aperti di un punto $x$. Il quarto assioma (che si chiama in genere secondo assioma di separazione, o assioma $T_2$) è una proprietà aggiuntiva, che non inficia l'essere o meno uno spazio topologico. Uno spazio topologico che ha (oltre alle altre proprietà degli intorni) la proprietà $T_2$ si chiama spazio di Hausdorff.
Per definizione, uno spazio topologico è uno insieme con una topologia. Ci sono grosso modo tre modi equivalenti di definire una topologia.
Si può definire una topologia indicando quali sono gli insiemi aperti dello spazio topologico. Si indica perciò un sottoinsieme dell'insieme delle parti di $X$ che deve soddisfare certe proprietà (i cosiddetti assiomi degli aperti).
In alternativa, a volte, è conveniente definire una topologia indicando quali sono gli insiemi chiusi. Niente di nuovo: si indica una famiglia di insiemi che deve soddisfare certe proprietà (i cosiddetti assiomi dei chiusi), che non a caso sono proprio le proprietà che "complementari" a quelle soddisfatte dagli aperti.
Infine, si può definire una topologia indicando quali sono gli intorni di ciascun punto dello spazio. Nel caso di topologie strane, in cui intorni alcuni punti "particolari" hanno intorni completamente diversi da quelli degli altri punti, è conveniente questo approccio. In questo caso gli assiomi si possono riassumere come segue. Per ogni $x$, bisogna definire una famiglia di sottoinsimi di $X$, che indichiamo con $\mathcal{U}(x)$ (e che chiamiamo famiglia degli intorni di $x$), i cui elementi sono chiamati intorni di $x$ in $X$ e per cui valgano le seguenti proprietà:
- $\mathcal{U}(x)$ non è vuoto e ogni elemento $U \in \mathcal{U}(x)$ soddisfa $x \in U$;
- se $U,V \in \mathcal{U}(x)$ allora $U\cap V \in \mathcal{U}(x)$;
- se $U \in \mathcal{U}(x)$ e $V \supseteq U$, allora $V \in \mathcal{U}(x)$;
- se $U \in \mathcal{U}(x)$, allora esiste $V \in \mathcal{U}(x)$ tale che $V \in \mathcal{U}(y)$ per ogni $y \in V$.
Questi quattro punti sono i cosiddetti assiomi degli intorni.
A volte è più facile definire, invece che gli intorni, semplicemente gli intorni aperti. In questo caso gli assiomi che devono essere soddisfatti sono 1,2,3 del link che hai postato. Una volta che abbiamo definito cosa sono gli intorni aperti, un intorno si definisce come qualcosa che contiene un intorno aperto.
Consiglio, più per divertimento che per imparare davvero la topologia (anche se devo dire che è impostato particolarmente bene se si sa già qualcosa) la lettura della prima parte del testo di Steen e Seebach "Counterexamples in Topology" (per prima parte intendo quella prima dell'inizio dei controesempi).
Per definizione, uno spazio topologico è uno insieme con una topologia. Ci sono grosso modo tre modi equivalenti di definire una topologia.
Si può definire una topologia indicando quali sono gli insiemi aperti dello spazio topologico. Si indica perciò un sottoinsieme dell'insieme delle parti di $X$ che deve soddisfare certe proprietà (i cosiddetti assiomi degli aperti).
In alternativa, a volte, è conveniente definire una topologia indicando quali sono gli insiemi chiusi. Niente di nuovo: si indica una famiglia di insiemi che deve soddisfare certe proprietà (i cosiddetti assiomi dei chiusi), che non a caso sono proprio le proprietà che "complementari" a quelle soddisfatte dagli aperti.
Infine, si può definire una topologia indicando quali sono gli intorni di ciascun punto dello spazio. Nel caso di topologie strane, in cui intorni alcuni punti "particolari" hanno intorni completamente diversi da quelli degli altri punti, è conveniente questo approccio. In questo caso gli assiomi si possono riassumere come segue. Per ogni $x$, bisogna definire una famiglia di sottoinsimi di $X$, che indichiamo con $\mathcal{U}(x)$ (e che chiamiamo famiglia degli intorni di $x$), i cui elementi sono chiamati intorni di $x$ in $X$ e per cui valgano le seguenti proprietà:
- $\mathcal{U}(x)$ non è vuoto e ogni elemento $U \in \mathcal{U}(x)$ soddisfa $x \in U$;
- se $U,V \in \mathcal{U}(x)$ allora $U\cap V \in \mathcal{U}(x)$;
- se $U \in \mathcal{U}(x)$ e $V \supseteq U$, allora $V \in \mathcal{U}(x)$;
- se $U \in \mathcal{U}(x)$, allora esiste $V \in \mathcal{U}(x)$ tale che $V \in \mathcal{U}(y)$ per ogni $y \in V$.
Questi quattro punti sono i cosiddetti assiomi degli intorni.
A volte è più facile definire, invece che gli intorni, semplicemente gli intorni aperti. In questo caso gli assiomi che devono essere soddisfatti sono 1,2,3 del link che hai postato. Una volta che abbiamo definito cosa sono gli intorni aperti, un intorno si definisce come qualcosa che contiene un intorno aperto.
Consiglio, più per divertimento che per imparare davvero la topologia (anche se devo dire che è impostato particolarmente bene se si sa già qualcosa) la lettura della prima parte del testo di Steen e Seebach "Counterexamples in Topology" (per prima parte intendo quella prima dell'inizio dei controesempi).
$\infty$ grazie a tutti!!!
Gli assiomi di separazione di Kolmogorov, Fréchet e Hausdorff corrispondono alle loro definizioni di spazio topologico, ove utilizzavano (per l'appunto) un assioma di separazione atto a distinguere i punti.
Un altro tentativo per definire gli spazi topologici è dovuto a Kuratowski, col suo operatore di chiusura; tra l'altro questo tentativo si può dire che ha avuto successo, in quanto definisce effettivamente l'attuale topologia data per insiemi chiusi.
Un altro tentativo per definire gli spazi topologici è dovuto a Kuratowski, col suo operatore di chiusura; tra l'altro questo tentativo si può dire che ha avuto successo, in quanto definisce effettivamente l'attuale topologia data per insiemi chiusi.
Grazie anche a te, Armando!!! Molto interessanti questi differenti approcci e le loro conseguenze...
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