[TEORIA] MAXI topic su coniche / quadriche
Ho messo insieme diverse informazioni e ora ho bisogno di un ultimo grandissimo gigantesco aiuto. Ho ancora moltissimi dubbi e vorrei chiarirli quasi tutti. Andiamo con ordine. (se possibile facciamo riferimento ai numeri così è più semplice risolvere i problemi!)
Legenda:
* - denota informazione acquisita con dubbio. Necessita conferma della comunità.
1/2/X - denota dubbio. Nessuna o poche informazioni acquisite. Inutile dire che serve aiuto.
Legenda:
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[*:3amuluxe]Conica: figura geometrica espressa in DUE dimensioni.[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]Quadrica: figura geometrica espressa in TRE dimensioni.[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]Quadratica: espressione di secondo grado che rappresenta una figura geometrica. Può essere sia una conica che una quadrica.[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]Classificazione di una conica:
Prendo la sua equazione ($Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+Fk$) e la trasformo in forma matriciale.
HOW-TO:
Easy. Compilo seguendo questa tabellina.
$(( , x, y , 1), (x, A, B/2, D/2), (y, B/2, C, E/2), (1, D/2, E/2, F))$
La matrice di ordine 3 interna la chiamiamo $A$ e la prima sottomatrice di ordine 2 la chiamiamo $B$.
Abbiamo così: $A = ((A, B/2, D/2), (B/2, C, E/2), (D/2, E/2, F))$ e $B = ((A, B/2), (B/2, C))$
Allora definiamo INVARIANTI ($I_x$) gli elementi così definiti:
- Invariante cubico $I_3$ = $det(A)$
- Invariante quadratico $I_2$ = $det(B)$
- Invariante lineare $I_1$ = $traccia(B)$ [elementi ($A + C$)]
Benissimo. Passiamo ora a definire queste maledette coniche.
Se $I_3 = 0$ allora la conica sarà degenere e allora:
[*:3amuluxe]se $I_2 < 0$ : due rette reali distinte.[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]se $I_2 = 0$ : due rette parallele oppure coincidenti[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]se $I_2 > 0$ : due rette immaginarie coniugate[/*:m:3amuluxe][/list:u:3amuluxe]
se $I_3 != 0$ allora la conica non è degenere quindi:
[*:3amuluxe]se $I_2 < 0$ : iperbole
- [*:3amuluxe]se $I_1 = 0$: equilatera[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]se $I_1 != 0$ : non equilatera[/*:m:3amuluxe][/list:u:3amuluxe][/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]se $I_2 = 0$ : parabola[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]se $I_2 > 0$ : ellisse
- [*:3amuluxe]se $I_1 * I_3 < 0$ : reale[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]se $I_1 * I_3 > 0$ : immaginaria[/*:m:3amuluxe][/list:u:3amuluxe][/*:m:3amuluxe][/list:u:3amuluxe][/*:m:3amuluxe][/list:u:3amuluxe]
[*:3amuluxe]Portare a forma canonica una conica:
[list=1]
[*:3amuluxe]Prendo la mia equazione e magia, trasformo in matrice.[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]Calcolo autovalori della mia matrice.[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]Attraverso $I_3 , I_2 , I_1$ capisco di che conica si tratta.[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]Calcolo gli autovettori generati dagli autospazi associati agli autovalori.[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]Creo una matrice $E$ costituita dagli autovalori inseriti in colonna.[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]Ortonormalizzo questa matrice ottenendo cosi una base ortonormale che mi porterà a calcolare la matrice diagonale di $A$ che ora chiamerò $D$.[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]Per trovare $D$ effettuo queste operazioni: $D = E^T * A * E$[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]Fatto ciò assegno, in ordine, ogni valore della mia diagonale ai coefficienti della mia nuova equazione. (es. $((1,0,0),(0,2,0),(0,0,3))$ -> $x^2 + 2y^2 + 3 = 0$[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]??? ??? ???[/*:m:3amuluxe][/list:o:3amuluxe]
[list=1]
[*:3amuluxe]Classificazione quadriche?[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]Punti di interesse coniche / quadriche? (fuochi, assi, centri)[/*:m:3amuluxe]
[*:3amuluxe]Punti base di un fascio?[/*:m:3amuluxe][/list:o:3amuluxe][/*:m:3amuluxe][/list:u:3amuluxe]
Ok, ci ho messo molto tempo a farlo ma riassume le mie attuali nozioni. Attendo riscontri!
Risposte
"GSnake":
1/2/X - denota dubbio. Nessuna o poche informazioni acquisite. Inutile dire che serve aiuto.
[*:3izf28xk]Conica: figura geometrica espressa in DUE dimensioni.[/*:m:3izf28xk]
[*:3izf28xk]Quadrica: figura geometrica espressa in TRE dimensioni.[/*:m:3izf28xk]
[*:3izf28xk]Quadratica: espressione di secondo grado che rappresenta una figura geometrica. Può essere sia una conica che una quadrica.[/*:m:3izf28xk][/list:u:3izf28xk]
Ma queste definizioni da dove saltano fuori? Per esempio un quadrato sarebbe una conica?
"Seneca":
[quote="GSnake"]1/2/X - denota dubbio. Nessuna o poche informazioni acquisite. Inutile dire che serve aiuto.
[*:32v59prl]Conica: figura geometrica espressa in DUE dimensioni.[/*:m:32v59prl]
[*:32v59prl]Quadrica: figura geometrica espressa in TRE dimensioni.[/*:m:32v59prl]
[*:32v59prl]Quadratica: espressione di secondo grado che rappresenta una figura geometrica. Può essere sia una conica che una quadrica.[/*:m:32v59prl][/list:u:32v59prl]
Ma queste definizioni da dove saltano fuori? Per esempio un quadrato sarebbe una conica?[/quote]
Appunto chiedo conferma. Potresti definirmi quella corretta? Grazie.
Queste sono definizioni che puoi trovare tranquillamente su un buon libro di geometria (o eventualmente sugli appunti del tuo corso). Da dove hai tirato fuori quelle definizioni lì? 
"Seneca":
Queste sono definizioni che puoi trovare tranquillamente su un buon libro di geometria (o eventualmente sugli appunti del tuo corso). Da dove hai tirato fuori quelle definizioni lì?
Girovagando sul forum / internet. In quanto sto avendo problemi a studiare dal libro ho aperto questo topic. Potresti chiarirmi un po' le idee? Sono quasi nel panico
non è in due dimensioni, è un'iperquadrica in $R^2$ per la conica e un'iperquadrica in $R^3$ per la quadrica.
Sia $ V $ uno spazio vettoriale sul campo $ \mathbb{R} $ con un prodotto scalare \( \langle , \rangle \).
Sia $ \mathbb{E}^n $ uno spazio euclideo di dimensione $ n $ con spazio vettoriale associato $ V $.
Fissata $ \mathcal{B} = (\mathbf{e}_1, ..., \mathbf{e}_n) $ base ortonormale di $ V $ e scegliendo $ O \in \mathbb{E}^n $, sia $ \mathcal{R} = (O, \mathcal{B}) $ il riferimento euclideo utilizzato per assegnare coordinate ai punti di $ \mathbb{E}^n $.
Caso n = 2
L'insieme dei punti $ P(x,y) $ che soddisfano un'equazione nelle incognite $ x $ e $ y $ della forma
\[ ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 \]
si dice conica di $ \mathbb{E}^2 $.
Caso n = 3
L'insieme dei punti $ P(x,y,z) $ che soddisfano un'equazione nelle incognite $ x $, $ y $ e $ z $ della forma
\[ ax^2+bxy+cxz+dy^2+eyz+fz^2+gx+hy+iz+j=0 \]
si dice quadrica di $ \mathbb{E}^3 $.
Nelle definizioni date si assume $ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j \in \mathbb{R} $.
Sia $ \mathbb{E}^n $ uno spazio euclideo di dimensione $ n $ con spazio vettoriale associato $ V $.
Fissata $ \mathcal{B} = (\mathbf{e}_1, ..., \mathbf{e}_n) $ base ortonormale di $ V $ e scegliendo $ O \in \mathbb{E}^n $, sia $ \mathcal{R} = (O, \mathcal{B}) $ il riferimento euclideo utilizzato per assegnare coordinate ai punti di $ \mathbb{E}^n $.
Caso n = 2
L'insieme dei punti $ P(x,y) $ che soddisfano un'equazione nelle incognite $ x $ e $ y $ della forma
\[ ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 \]
si dice conica di $ \mathbb{E}^2 $.
Caso n = 3
L'insieme dei punti $ P(x,y,z) $ che soddisfano un'equazione nelle incognite $ x $, $ y $ e $ z $ della forma
\[ ax^2+bxy+cxz+dy^2+eyz+fz^2+gx+hy+iz+j=0 \]
si dice quadrica di $ \mathbb{E}^3 $.
Nelle definizioni date si assume $ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j \in \mathbb{R} $.
Perfetto. Mentre per gli altri punti? Classificazione di una quadrica ecc.. ecc? Mi potete aiutare?
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