[TEORIA] Matrici simili.. queste sconosciute
Buonasera ragazzi.
Ho appena finito di studiare il paragrafo sulle matrici simili ed ho qualche dubbio.
Praticamente una matrice simile si "basa" su una matrice di cambiamento di base oppure di "transizione".
Una matrice di transizione $T_n$ (di ordine n) non è altro una matrice che rappresenta un endomorfismo ed ha come colonne le coordinate "generali" di una base $B'$ rispetto ad una base $B$.
Una matrice $M_a$ quindi si dice simile se posso rappresentarla rispetto ad un'altra matrice $M_b$ seguendo questa relazione $M_a = T_n M_b T_n^-1$.
Tradotta in italiano dal mio cervello credo di aver capito che praticamente una matrice associata ad una funzione $X$ può essere uguale ad un'altra matrice associata $Y$ che è stata rappresentata però attraverso una base diversa (quale poi si capisce trovando la matrice di transizione giusta).
Questo l'ho dedotto perchè sappiamo che avendo due basi $B$ e $B'$, per trovare la matrice associata alla base $B$ si ha $M_B' = T_n M_B T_n^-1$ (se $T_n$ è stata costruita in modo tale da avere le coordinate di $B$ rispetto a $B'$.
Last but not least, il determinante di due matrici simili è uguale.
Ed ora il grande dubbio. Non ho capito cosa vuol dire il mio libro di testo con:
"Si considerino le matrici di ordine $n$ su un campo $K$. La relazione di similitudine tra matrici è una relazione di equivalenza, che suddivice $M_n(K)$ in classi disgiunte.
(...)
Nasce allora il problema di determinare se esista in una classe di equivalenza una matrice diagonale; il problema corrisponde a determinare l'eventuale esistenza di una base dello spazio vettoriale, rispetto alla quale un endomorfismo $T$ si rappresenti con una matrice diagonale. Se tale base esiste, l'endomorfismo di dice diagonalizzabile"
Illuminatemi.
Ho sbagliato qualcosa? Grazie!
Ho appena finito di studiare il paragrafo sulle matrici simili ed ho qualche dubbio.
Praticamente una matrice simile si "basa" su una matrice di cambiamento di base oppure di "transizione".
Una matrice di transizione $T_n$ (di ordine n) non è altro una matrice che rappresenta un endomorfismo ed ha come colonne le coordinate "generali" di una base $B'$ rispetto ad una base $B$.
Una matrice $M_a$ quindi si dice simile se posso rappresentarla rispetto ad un'altra matrice $M_b$ seguendo questa relazione $M_a = T_n M_b T_n^-1$.
Tradotta in italiano dal mio cervello credo di aver capito che praticamente una matrice associata ad una funzione $X$ può essere uguale ad un'altra matrice associata $Y$ che è stata rappresentata però attraverso una base diversa (quale poi si capisce trovando la matrice di transizione giusta).
Questo l'ho dedotto perchè sappiamo che avendo due basi $B$ e $B'$, per trovare la matrice associata alla base $B$ si ha $M_B' = T_n M_B T_n^-1$ (se $T_n$ è stata costruita in modo tale da avere le coordinate di $B$ rispetto a $B'$.
Last but not least, il determinante di due matrici simili è uguale.
Ed ora il grande dubbio. Non ho capito cosa vuol dire il mio libro di testo con:
"Si considerino le matrici di ordine $n$ su un campo $K$. La relazione di similitudine tra matrici è una relazione di equivalenza, che suddivice $M_n(K)$ in classi disgiunte.
(...)
Nasce allora il problema di determinare se esista in una classe di equivalenza una matrice diagonale; il problema corrisponde a determinare l'eventuale esistenza di una base dello spazio vettoriale, rispetto alla quale un endomorfismo $T$ si rappresenti con una matrice diagonale. Se tale base esiste, l'endomorfismo di dice diagonalizzabile"
Illuminatemi.
Ho sbagliato qualcosa? Grazie!
Risposte
Nessuno che può rassicurarmi / correggermi?
In $M_n(K)$ la relazione di similitudine $~~$ è una relazione di equivalenza:
$A~~Biff$ esiste una matrice invertibile $P$ con $A=P^-1BP$.
$~~$ è riflessiva: $A~~A$ perchè $A=I^-1AI$.
$~~$ è simmetrica: $A~~BrArrB~~A$ perchè se $A=P^-1BPrArrB=(P^-1)^-1AP^-1$.
$~~$ è transitiva: se $A~~B$ e $B~~CrArrA=P^-1BP$ e $B=Q^-1CQrArrA=P^-1(Q^-1CQ)PrArrA=P^-1Q^-1CQP=(QP)^-1C(QP)$.
Le matrici quadrate si ripartiscono in classi di equivalenza.
A questo punto nasce la questione:
Sia assegnata la matrice quadrata $A$. Esiste una matrice $D$ diagonale con la proprietà $A~~D$? Se esiste la matrice $A$ si dice diagonalizzabile.
Se si considera un endomorfismo $f:VtoV$ di uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$, ha senso determinare la matrice $A$ che rappresenta l'endomorfismo rispetto ad una base $B$. Una tale matrice $A$ è quadrata di ordine $n$. Sarebbe molto comodo avere una base rispetto alla quale la matrice $A$ risulta diagonale, tale problema è strettamente collegato all'esistenza di una base costituita da autovettori.
$A~~Biff$ esiste una matrice invertibile $P$ con $A=P^-1BP$.
$~~$ è riflessiva: $A~~A$ perchè $A=I^-1AI$.
$~~$ è simmetrica: $A~~BrArrB~~A$ perchè se $A=P^-1BPrArrB=(P^-1)^-1AP^-1$.
$~~$ è transitiva: se $A~~B$ e $B~~CrArrA=P^-1BP$ e $B=Q^-1CQrArrA=P^-1(Q^-1CQ)PrArrA=P^-1Q^-1CQP=(QP)^-1C(QP)$.
Le matrici quadrate si ripartiscono in classi di equivalenza.
A questo punto nasce la questione:
Sia assegnata la matrice quadrata $A$. Esiste una matrice $D$ diagonale con la proprietà $A~~D$? Se esiste la matrice $A$ si dice diagonalizzabile.
Se si considera un endomorfismo $f:VtoV$ di uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$, ha senso determinare la matrice $A$ che rappresenta l'endomorfismo rispetto ad una base $B$. Una tale matrice $A$ è quadrata di ordine $n$. Sarebbe molto comodo avere una base rispetto alla quale la matrice $A$ risulta diagonale, tale problema è strettamente collegato all'esistenza di una base costituita da autovettori.
Ahia ahia ahia... autovettori.. ancora non li ho studiati...
Tornerò in questo topic una volta fatti!
A parte ciò, una classe di equivalenza sono una serie di "proprietà" che vengono rispettate da delle funzioni matematiche in pratica?
Tornerò in questo topic una volta fatti!
A parte ciò, una classe di equivalenza sono una serie di "proprietà" che vengono rispettate da delle funzioni matematiche in pratica?
Altro dubbio. Ho svolto un esercizio sulle matrici simili dalla traccia abbastanza ambigua.
"Sia $T$ l'endomorfismo di $R^3$ tale che $T(x,y,z) = (x-y,x+y+z,2x+y)$. Calcolare la matrice associata a $T$, rispetto alla base (la stessa nel dominio e nel codominio) $B = ((0),(0),(1)),((2),(1),(2)),((1),(1),(1))$."
Dopo un po' di grattacapo ho notato che il professore prima si ha calcolato la matrice associata alla base canonica avendo $M_b = ((1,-1,0),(1,1,1),(2,1,0))$ e poi ha praticamente applicato questa formula: $M_B(T) = M_B^-1*M_b*M_B$ dove $M_B$ non è altro che $B$ (in modalità matrice
) !
Ora dopo tutto il poema che ho scritto sopra le mie idee sono più confuse che mai. Lui ha dato una BASE $B$ però poi si è calcolato la matrice $M_B$ con vettori colonna pari a quelli di $B$. Che cos'è sta matrice? Secondo la teoria è la MATRICE DI TRANSIZIONE... (io credevo invece fosse la "finale" $M_B(T)$)... giusto?
Quindi se mi viene data una base e basta.. come trovo questa matrice di transizione? (praticamente mi è stata data in questo esercizio..)
Ultima domanda: nell'utilissimo PDF di Sergio (Algebra lineare for dummies) è descritto un metodo per trovare una matrice di transizione attraverso la combinazione lineare della base $B$ dei componenti di $B'$. Ho provato ad utilizzarla e... colpo di scena... ho trovato nient'altro che $M_B^-1$! Cosa significa? :O
Grazie a tutti e scusatemi per i miliardi di dubbi
EDIT POST ESERCIZIO SUCCESSIVO: Rieccomi ancora
Ho svolto un esercizio che mi chiede di "Calcolare le matrici di TRANSIZIONE seguenti:" (..)
Esempio: "a) dalla base canonica in $R^3$ alla base $((3),(0),(0)),((0),(-1),(0)),(0),(0),(1/2))$."
Ho usato il metodo di Sergio (per me molto più semplice) ed effettivamente ottengo (ponendo $M_B$ come matrice avente come vettori colonna quelli scritti sopra) $M_B^-1$. Quindi.... $M_B(T)$ cosa è effettivamente? Ed $M_B$? (una risposta ce l'avrei... e cioè: è semplicemente la matrice costruita sulla base $B$). $M_B^-1$ quindi è sempre la matrice di transizione... PER QUALSIASI BASE rispetto a quella canonica! (o no?)
Scusate ancora
"Sia $T$ l'endomorfismo di $R^3$ tale che $T(x,y,z) = (x-y,x+y+z,2x+y)$. Calcolare la matrice associata a $T$, rispetto alla base (la stessa nel dominio e nel codominio) $B = ((0),(0),(1)),((2),(1),(2)),((1),(1),(1))$."
Dopo un po' di grattacapo ho notato che il professore prima si ha calcolato la matrice associata alla base canonica avendo $M_b = ((1,-1,0),(1,1,1),(2,1,0))$ e poi ha praticamente applicato questa formula: $M_B(T) = M_B^-1*M_b*M_B$ dove $M_B$ non è altro che $B$ (in modalità matrice
) !Ora dopo tutto il poema che ho scritto sopra le mie idee sono più confuse che mai. Lui ha dato una BASE $B$ però poi si è calcolato la matrice $M_B$ con vettori colonna pari a quelli di $B$. Che cos'è sta matrice? Secondo la teoria è la MATRICE DI TRANSIZIONE... (io credevo invece fosse la "finale" $M_B(T)$)... giusto?
Quindi se mi viene data una base e basta.. come trovo questa matrice di transizione? (praticamente mi è stata data in questo esercizio..)
Ultima domanda: nell'utilissimo PDF di Sergio (Algebra lineare for dummies) è descritto un metodo per trovare una matrice di transizione attraverso la combinazione lineare della base $B$ dei componenti di $B'$. Ho provato ad utilizzarla e... colpo di scena... ho trovato nient'altro che $M_B^-1$! Cosa significa? :O
Grazie a tutti e scusatemi per i miliardi di dubbi
EDIT POST ESERCIZIO SUCCESSIVO: Rieccomi ancora
Ho svolto un esercizio che mi chiede di "Calcolare le matrici di TRANSIZIONE seguenti:" (..)Esempio: "a) dalla base canonica in $R^3$ alla base $((3),(0),(0)),((0),(-1),(0)),(0),(0),(1/2))$."
Ho usato il metodo di Sergio (per me molto più semplice) ed effettivamente ottengo (ponendo $M_B$ come matrice avente come vettori colonna quelli scritti sopra) $M_B^-1$. Quindi.... $M_B(T)$ cosa è effettivamente? Ed $M_B$? (una risposta ce l'avrei... e cioè: è semplicemente la matrice costruita sulla base $B$). $M_B^-1$ quindi è sempre la matrice di transizione... PER QUALSIASI BASE rispetto a quella canonica! (o no?)
Scusate ancora
Che dire.. perfetto. Grazie mille!
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