Teoria Matrici Simili
Salve a tutti
Non ho ben chiara una parte della teoria riguardande le matrici simili.
Mi chiedevo se qualche anima pia possa spiegarmela
grazie
la parte in questione è:
Supponiamo A rappresenti f nella base B={v1,v2,....vn} di V e sia A'∈Mn(R) la matrice che rappresenta f nella base B'={v1',v2'...vn'} di V
allora si ha:
(1.0)$ Y=AX$
(2.0) $Y'=A'X'$
inoltre per una opportuna matrice C∈GLn(R) deve avere:
(3.0) $Z=CZ'$
usando la (3.0) si trova (e qua non capisco)
$CY'=A(CX')$ --> $CY'=(AC)X'$--->$(C^-1 C)Y'$=$(C'AC)X'$-->$Y'=(C^-1 A C)X'$ (*)
che fornisce:
A'=$C^-1$ A C
Ecco non capisco come fa quelle uguaglianze (*) servendosi del fatto che Z=CZ'
Non ho ben chiara una parte della teoria riguardande le matrici simili.
Mi chiedevo se qualche anima pia possa spiegarmela
grazie
la parte in questione è:
Supponiamo A rappresenti f nella base B={v1,v2,....vn} di V e sia A'∈Mn(R) la matrice che rappresenta f nella base B'={v1',v2'...vn'} di V
allora si ha:
(1.0)$ Y=AX$
(2.0) $Y'=A'X'$
inoltre per una opportuna matrice C∈GLn(R) deve avere:
(3.0) $Z=CZ'$
usando la (3.0) si trova (e qua non capisco)
$CY'=A(CX')$ --> $CY'=(AC)X'$--->$(C^-1 C)Y'$=$(C'AC)X'$-->$Y'=(C^-1 A C)X'$ (*)
che fornisce:
A'=$C^-1$ A C
Ecco non capisco come fa quelle uguaglianze (*) servendosi del fatto che Z=CZ'
Risposte
Esiste un linguaggio apposito per le formule: http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
uppp
$C$ è la matrice
di cambiamento di base da $B'$ a $B$.
Che $A'$, la matrice
rappresentante nella base $B'$ una applicazione lineare, sia uguale a $C^(-1)AC$
puoi considerarlo così:
$C$ trasforma il vettore $X'$ nel vettore $X$. $A$ trasforma questo vettore $X$ nel vettore $Y$. $C^(-1)$trasforma questo vettore
$Y$ nel vettore $Y'$.
di cambiamento di base da $B'$ a $B$.
Che $A'$, la matrice
rappresentante nella base $B'$ una applicazione lineare, sia uguale a $C^(-1)AC$
puoi considerarlo così:
$C$ trasforma il vettore $X'$ nel vettore $X$. $A$ trasforma questo vettore $X$ nel vettore $Y$. $C^(-1)$trasforma questo vettore
$Y$ nel vettore $Y'$.
"George Boole":
$(C^-1 C)Y'$=$(C'AC)X'$
Nota :quel $C'$ sarà $C^(-1)$ no? (ho moltiplicato
a sn. i due membri di un'equazione per la stessa matrice)
"George Boole":
quelle uguaglianze (*) servendosi del fatto che Z=CZ'
si serve di quella proprio all'inizio, passando da$Y=AX$ ad $CY'=A(CX')$
"orazioster":
[quote="George Boole"]
$(C^-1 C)Y'$=$(C'AC)X'$
Nota :quel $C'$ sarà $C^(-1)$ no? (ho moltiplicato
a sn. i due membri di un'equazione per la stessa matrice)
"George Boole":
quelle uguaglianze (*) servendosi del fatto che Z=CZ'
si serve di quella proprio all'inizio, passando da$Y=AX$ ad $CY'=A(CX')$[/quote]
umm potresti farmi i singoli passaggi?
$Y=AX$
Poichè $Y=CY'$ e $X=CX'$,
abbiamo $(CY')=A(CX')$->$(C)Y'=(AC)X'$->$(C^(-1)C)Y'=(C^(-1)AC)X'$->$Y'=(C^(-1)AC)X'$.
Poichè $Y=CY'$ e $X=CX'$,
abbiamo $(CY')=A(CX')$->$(C)Y'=(AC)X'$->$(C^(-1)C)Y'=(C^(-1)AC)X'$->$Y'=(C^(-1)AC)X'$.
"orazioster":
$Y=AX$
Poichè $Y=CY'$ e $X=CX'$,
abbiamo $(CY')=A(CX')$->$(C)Y'=(AC)X'$->$(C^(-1)C)Y'=(C^(-1)AC)X'$->$Y'=(C^(-1)AC)X'$.
non comprendo ancora questo passaggio
Ad $Y$ sostituisco$CY'$, ad $X$ sostituisco $CX'$ -dalle precedenti eguaglianze.
Abitrariamente moltiplico a sinistra per $C^(-1)$ -chi
m'impedisce di farlo?
-capisco quello che dicevi... infatti
quella moltiplicazione NON segue dai passaggi precedenti. Come
dicevo, decido io di moltiplicare (a sinistra per una matrice) ambo i membri di un'equazione
-se era questo che non comprendevi. Poi,
ovviamente, $(C^(-1)C)=I$, ed $IY'=Y'$!
Abitrariamente moltiplico a sinistra per $C^(-1)$ -chi
m'impedisce di farlo?
-capisco quello che dicevi... infatti
quella moltiplicazione NON segue dai passaggi precedenti. Come
dicevo, decido io di moltiplicare (a sinistra per una matrice) ambo i membri di un'equazione
-se era questo che non comprendevi. Poi,
ovviamente, $(C^(-1)C)=I$, ed $IY'=Y'$!
Penso che "(3.0) $Z=C*Z'$" vada inteso così:
Esiste una matrice $C$ tale che per ogni vettore $Z$ nella base $cc(B)$ e per il suo corrispondente $Z'$ nella base $cc(B)'$ vale $Z=C*Z'$
Provo a spiegare il tutto, sperando di non complicare ulterirmente le idee.
Sia $V$ spazio vettoriale, $V sube RR^n$
Abbiamo due basi distinte per $V$, che sono $B={v_1,v_2,....v_n}$ e $B'={v_1',v_2',...,v_n'}$
ciò significa che ogni vettore di $V$ è esprimibile in due modi diversi, a seconda di quale base scegliamo.
Dunque, ad ogni vettore $X=(x_1,x_2,...x_n)$, scelto con base $B$, corrisponde un certo vettore $X'=(x_1',x_2',....,x_n')$ nella base $B'$, e viceversa.
Come sono legati $X$ e $X'$?
Dalla teoria sappiamo che $EE C in cc(M)_n (RR)$, con $|C|!=0$ (la matrice di cambiamento di base), tale che $X=C*X'$.
Pertanto, comunque scegliamo il vettore $X$, esso avrà un corrispondente $X'$ e vale la relazione $X=C*X'$
Ora, supponiamo che
$A in cc(M)_(n) (RR)$ rappresenti $f$ nella base $B={v_1,v_2,....v_n}$ di $V$ e che
$A' in cc(M)_n(RR)$ rappresenti $f$ nella base $B'={v_1',v_2',...,v_n'}$ di $V$
Vogliamo capire come sono legate $A$ e $A'$ tra loro.
Scriviamo la notazione matriciale di $f$:
Sia $B$ la base considerata; sia $X in V$, applicando $f$ a $X$ si otterrà un nuovo vettore $Y$ tale che $Y=A*X$
Ma sia $X$ che $Y$ hanno un corrispondente in $B'$:
ad $X$ corrisponde $X'$ e vale la relazione $X=C*X'$;
ad $Y$ corrisponde $Y'$ e vale la relazione $Y=C*Y'$.
Dunque, passando alla base $B'$, se applichiamo $f$ a $X'$ otteniamo $Y'$. Ma in questo caso la matrice di $f$ non è più $A$, bensì $A'$
Pertanto si ha $Y'=A'*X'$
Dunque, ricapitolando, le ipotesi sono le seguenti:
1) $Y=A*X$
2) $Y'=A'*X'$
3) $Y=C*Y'$, $X=C*X'$
Facendo i passaggi descritti da orazioster si arriva al risultato, che è
$A'=C^(-1)*A*C$
Esiste una matrice $C$ tale che per ogni vettore $Z$ nella base $cc(B)$ e per il suo corrispondente $Z'$ nella base $cc(B)'$ vale $Z=C*Z'$
Provo a spiegare il tutto, sperando di non complicare ulterirmente le idee.
Sia $V$ spazio vettoriale, $V sube RR^n$
Abbiamo due basi distinte per $V$, che sono $B={v_1,v_2,....v_n}$ e $B'={v_1',v_2',...,v_n'}$
ciò significa che ogni vettore di $V$ è esprimibile in due modi diversi, a seconda di quale base scegliamo.
Dunque, ad ogni vettore $X=(x_1,x_2,...x_n)$, scelto con base $B$, corrisponde un certo vettore $X'=(x_1',x_2',....,x_n')$ nella base $B'$, e viceversa.
Come sono legati $X$ e $X'$?
Dalla teoria sappiamo che $EE C in cc(M)_n (RR)$, con $|C|!=0$ (la matrice di cambiamento di base), tale che $X=C*X'$.
Pertanto, comunque scegliamo il vettore $X$, esso avrà un corrispondente $X'$ e vale la relazione $X=C*X'$
Ora, supponiamo che
$A in cc(M)_(n) (RR)$ rappresenti $f$ nella base $B={v_1,v_2,....v_n}$ di $V$ e che
$A' in cc(M)_n(RR)$ rappresenti $f$ nella base $B'={v_1',v_2',...,v_n'}$ di $V$
Vogliamo capire come sono legate $A$ e $A'$ tra loro.
Scriviamo la notazione matriciale di $f$:
Sia $B$ la base considerata; sia $X in V$, applicando $f$ a $X$ si otterrà un nuovo vettore $Y$ tale che $Y=A*X$
Ma sia $X$ che $Y$ hanno un corrispondente in $B'$:
ad $X$ corrisponde $X'$ e vale la relazione $X=C*X'$;
ad $Y$ corrisponde $Y'$ e vale la relazione $Y=C*Y'$.
Dunque, passando alla base $B'$, se applichiamo $f$ a $X'$ otteniamo $Y'$. Ma in questo caso la matrice di $f$ non è più $A$, bensì $A'$
Pertanto si ha $Y'=A'*X'$
Dunque, ricapitolando, le ipotesi sono le seguenti:
1) $Y=A*X$
2) $Y'=A'*X'$
3) $Y=C*Y'$, $X=C*X'$
Facendo i passaggi descritti da orazioster si arriva al risultato, che è
$A'=C^(-1)*A*C$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo