Teoria geometrica sul cilindro
Ho da poco iniziato lo studio della dinamica lagrangiana è ho parecchi dubbi su alcuni esempi che sono stati presi proprio per introdurre questo argomento.
''In generale una superfice di forma parametrica si rappresenta così:
$r=r(u_1 ,u_2)$
dove: $r$ è il vettore posizione e $(u_1 ,u_2)$ sono parametri superficiali, inoltre:
$\{(x=x(u,v)),(y=y(u,v)),(z=z(u,v))}$
dove: $(u ,v)$ sono parametri superficiali e $x,y,z$ sono le coordinate del punto della superficie.''
Esempio del cilindro
$\{(x=r cos \phi),(y= r sin \phi),(z=z)}$
dove:
$\phi$ ci fa girare attorno al cilindro
$r$ è il raggio del cilindro
Ed ecco la parte critica:
''Se vario \phi mantenendo costante $z$ ottengo un cerchio; se vario $z$ e tengo costante $\phi$ ottengo la direttrice del cilindro''.
I miei dubbi sono:
1) su wiki, viene introdotto per $(u,v)$ e $x,y,z$ questi nomi rispettivamente, parametri coordinanti e punti dello spazio. (che hanno anche un pò più di senso), quindi i 'nomi' dati a lezioni significano tutt'altra cosa?
2) Data la scarsa presentazione delle quadriche nei miei corsi precedenti, ho guardato questa pagine che pare di essere illuminante sull'argomento 'cilindro': http://progettomatematica.dm.unibo.it/Q ... dri-Q.html
Quando dice di mantere fisso l'angolo $\phi$ per ottenere la direttrice del cilindro, in sostanza mi dice di trovare una curva $\gamma$ che incontra tutte le generatrici del cilindro. Se avessi ad esempio un cilindro di equazione: $3y^2 -(x-y-z)^2 =1$ come farei a trovarmi la direttrice? Dovrei forse mettere a posto di $x,y,z$ le equazioni parametriche del sistema e porre qualche condizione su $z$? Tipo l'esempio che viene fatto nel link che ho postato...
Se è poco chiara l'esposizione ditemi dove, che rimetto a posto le idee....spero tuttavia di aver chiarito quali siano i miei dubbi
''In generale una superfice di forma parametrica si rappresenta così:
$r=r(u_1 ,u_2)$
dove: $r$ è il vettore posizione e $(u_1 ,u_2)$ sono parametri superficiali, inoltre:
$\{(x=x(u,v)),(y=y(u,v)),(z=z(u,v))}$
dove: $(u ,v)$ sono parametri superficiali e $x,y,z$ sono le coordinate del punto della superficie.''
Esempio del cilindro
$\{(x=r cos \phi),(y= r sin \phi),(z=z)}$
dove:
$\phi$ ci fa girare attorno al cilindro
$r$ è il raggio del cilindro
Ed ecco la parte critica:
''Se vario \phi mantenendo costante $z$ ottengo un cerchio; se vario $z$ e tengo costante $\phi$ ottengo la direttrice del cilindro''.
I miei dubbi sono:
1) su wiki, viene introdotto per $(u,v)$ e $x,y,z$ questi nomi rispettivamente, parametri coordinanti e punti dello spazio. (che hanno anche un pò più di senso), quindi i 'nomi' dati a lezioni significano tutt'altra cosa?
2) Data la scarsa presentazione delle quadriche nei miei corsi precedenti, ho guardato questa pagine che pare di essere illuminante sull'argomento 'cilindro': http://progettomatematica.dm.unibo.it/Q ... dri-Q.html
Quando dice di mantere fisso l'angolo $\phi$ per ottenere la direttrice del cilindro, in sostanza mi dice di trovare una curva $\gamma$ che incontra tutte le generatrici del cilindro. Se avessi ad esempio un cilindro di equazione: $3y^2 -(x-y-z)^2 =1$ come farei a trovarmi la direttrice? Dovrei forse mettere a posto di $x,y,z$ le equazioni parametriche del sistema e porre qualche condizione su $z$? Tipo l'esempio che viene fatto nel link che ho postato...
Se è poco chiara l'esposizione ditemi dove, che rimetto a posto le idee....spero tuttavia di aver chiarito quali siano i miei dubbi
Risposte
Il problema di trovare la direttrice partendo dall'equazione ( o dalle equazioni ) del cilindro non è determinato. Nel senso che esistono infinite direttrici: tutte quelle che si ottengono secando il cilindro medesimo con un piano arbitrario. Per esempio nel tuo caso le curve :
\(\displaystyle \gamma_1 : \begin{cases}x=2z\\2y^2+2yz-z^2=1\end{cases} \)
\(\displaystyle \gamma_2 : \begin{cases}x=y\\3y^2-z^2=1\end{cases} \)
possono entrambe essere considerate direttrici del cilindro di equazione \(\displaystyle 3y^2-(x-y-z)^2=1 \)
\(\displaystyle \gamma_1 : \begin{cases}x=2z\\2y^2+2yz-z^2=1\end{cases} \)
\(\displaystyle \gamma_2 : \begin{cases}x=y\\3y^2-z^2=1\end{cases} \)
possono entrambe essere considerate direttrici del cilindro di equazione \(\displaystyle 3y^2-(x-y-z)^2=1 \)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo