Teoria Forma bilineare simmetrica e Prodotto scalare
Ciao a tutti,
Vi scrivo per porvi tre domande sulla teoria delle forme bilineari simmetriche.
Se non ho capito male, una forma bilineare simmetrica è un'applicazione alla quale può essere associata una matrice simmetrica.
Quello che non mi è chiaro:
1) una matrice simmetrica può essere associata:
sia ad un'applicazione f: K --> K
che a una forma bilineare simmetrica f: KxK ---> K ?
2)Data una forma bilineare simmetrica o un prodotto scalare, come si può determinare la matrice associata?
3)Che legame c'è tra forma bilineare simmetrica e teorema spettrale?
Sono molto confuso riguardo ciò.
Purtroppo nei capitoli dei libri teorici di cui sono in possesso, l'argomento (matrici simmetriche, forme bilineari, ecc.) viene affrontato trattando molto i numeri complessi...argomento che non abbiamo ancora trattato(sono al primo anno).
Ringrazio chiunque riesca a fare un pò di luce... dato che brancolo nel buio!
Buona serata
Vi scrivo per porvi tre domande sulla teoria delle forme bilineari simmetriche.
Se non ho capito male, una forma bilineare simmetrica è un'applicazione alla quale può essere associata una matrice simmetrica.
Quello che non mi è chiaro:
1) una matrice simmetrica può essere associata:
sia ad un'applicazione f: K --> K
che a una forma bilineare simmetrica f: KxK ---> K ?
2)Data una forma bilineare simmetrica o un prodotto scalare, come si può determinare la matrice associata?
3)Che legame c'è tra forma bilineare simmetrica e teorema spettrale?
Sono molto confuso riguardo ciò.
Purtroppo nei capitoli dei libri teorici di cui sono in possesso, l'argomento (matrici simmetriche, forme bilineari, ecc.) viene affrontato trattando molto i numeri complessi...argomento che non abbiamo ancora trattato(sono al primo anno).
Ringrazio chiunque riesca a fare un pò di luce... dato che brancolo nel buio!
Buona serata
Risposte
Non è chiaro cosa sia K, il campo?
Per la (2) la matrice si associa solo una volta fissata una base di vettori per il tuo spazio vettoriale V di dimensione finita n su K, cioè se $A={v_{1},...,v_{n}}$ è una base di V e la forma bilineare/prodotto scalare è $\phi :VxV \rightarrow K$, la matrice si associa semplicemente così $B_{A}=
(\phi(v_{i},v_{j}))_{1\leq i,j \leq n}$, cioè calcolando la forma sulle coppie di vettori della base. Chiaramente se la forma è simmetrica la matrice verrà simmetrica.
Per la (3) è un po' vago, in generale il teorema spettale nel caso reale ti dice che se hai una matrice simmetrica (e perciò associata rispetto alla base canonica a una univoca forma bilineare simmetrica) reale questa è diagonalizzabile.
Per la (2) la matrice si associa solo una volta fissata una base di vettori per il tuo spazio vettoriale V di dimensione finita n su K, cioè se $A={v_{1},...,v_{n}}$ è una base di V e la forma bilineare/prodotto scalare è $\phi :VxV \rightarrow K$, la matrice si associa semplicemente così $B_{A}=
(\phi(v_{i},v_{j}))_{1\leq i,j \leq n}$, cioè calcolando la forma sulle coppie di vettori della base. Chiaramente se la forma è simmetrica la matrice verrà simmetrica.
Per la (3) è un po' vago, in generale il teorema spettale nel caso reale ti dice che se hai una matrice simmetrica (e perciò associata rispetto alla base canonica a una univoca forma bilineare simmetrica) reale questa è diagonalizzabile.
Una matrice si può effettivamente associare a due cose diverse: una applicazione lineare o una forma bilineare. (Ricordatene quando studierai i tensori). La differenza di comportamento si ha al cambiare base; se la matrice \(A\) è associata ad una applicazione lineare, essa si trasforma per cambiamento di base come
\[
A\mapsto P^{-1}A P; \]
se invece è associata ad una forma bilineare,
\[
A\mapsto P^T A P.\]
Su questo punto bisogna ragionare a fondo. (I fisici, e i matematici d'altri tempi, sanno queste cose meglio di noi matematici, e su queste equazioni fondano il calcolo tensoriale).
Il teorema spettrale, nel caso reale, dice che se una matrice è simmetrica, allora si può diagonalizzare sia come forma bilineare sia come applicazione lineare. Infatti, essa ammette una matrice diagonalizzante \(P\) tale che \(P^{-1}=P^T\), quindi le due equazioni di sopra coincidono.
\[
A\mapsto P^{-1}A P; \]
se invece è associata ad una forma bilineare,
\[
A\mapsto P^T A P.\]
Su questo punto bisogna ragionare a fondo. (I fisici, e i matematici d'altri tempi, sanno queste cose meglio di noi matematici, e su queste equazioni fondano il calcolo tensoriale).
Il teorema spettrale, nel caso reale, dice che se una matrice è simmetrica, allora si può diagonalizzare sia come forma bilineare sia come applicazione lineare. Infatti, essa ammette una matrice diagonalizzante \(P\) tale che \(P^{-1}=P^T\), quindi le due equazioni di sopra coincidono.
Grazie ragazzi!!!
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