Teoria autovettori/autovalori e basi ortogonali

[giulgiu1]

Ciao, tra poco ho un esame ed ho dei quesiti che erano stati chiesti gli anni scorsi hai quali non so dare una risposta.
1)Quanti autovalori ha una funzione lineare?
2)Ogni funzione lineare ha autovettori?
3)Ogni sottospazio ha almeno una base ortonormale?
Spero riusciate a darmi una risposta. Grazie!!

[feddy]

Tralasciando il modo in cui hai scritto la prima riga... ma che domanda è "Quanti autovalori ha una funzione lineare?" E' come chiedere: "Come si calcola $int f(x)dx$?"

[anto_zoolander]

1) distinti al più $n$: perchè?
2) no: esempio?
3) In genere uno spazio vettoriale in cui è definita una forma bilineare simmetria ammette una borsa ortogonale: c’è un teorema?

[giulgiu1]

"feddy":Tralasciando il modo in cui hai scritto la prima riga... ma che domanda è "Quanti autovalori ha una funzione lineare?" E' come chiedere: "Come si calcola $int f(x)dx$?"

Scusa per la prima riga ma l'avevo scritta in un modo e dopo l'ho cambiata e l'ho inviata senza correggerla. Comunque purtroppo è scritto così nell'esame, spero abbiano sbagliato nel file caricato e che in quello dell'esame non fosse scritto così perchè neanche io c'ho trovato un senso.

[giulgiu1]

"anto_zoolander":1) distinti al più $n$: perchè?
2) no: esempio?
3) In genere uno spazio vettoriale in cui è definita una forma bilineare simmetria ammette una borsa ortogonale: c’è un teorema?

Tralasciando la prima domanda che non credo abbia senso, potresti dirmi in che caso una funzione lineare non ha autovettori?

[anto_zoolander]

Beh diventa diventa un po’ più sensata se cambi la domanda in:

se un endomorfismo tra spazi vettoriali ammette autovalori, quanti distinti ne può ammettere?

Io l’ho interpretata così la tua domanda.

prova a formularne uno, è facile.

[giulgiu1]

"anto_zoolander":Beh diventa diventa un po’ più sensata se cambi la domanda in:

se un endomorfismo tra spazi vettoriali ammette autovalori, quanti distinti ne può ammettere?

Io l’ho interpretata così la tua domanda.

prova a formularne uno, è facile.

Per la 2) si può rispondere che esiste sempre almeno 1 autovettore perchè la molteplicità geometrica(e algebrica) di un autovalore sono sempre maggiori o uguali a 1 e quindi se esiste un autovalore esiste anche un autovettore?
Invece per la 3) ho pensato che esiste sempre una base ortonormale che è quella canonica giusto?
Grazie!

[anto_zoolander]

No per entrambe le cose.

Prendi l’applicazionr definita da $((0,1),(-1,0))$. Com’è il suo polinomio caratteristico su $RR$?

Lo spazio $< (1,0,2) , (0,1,0) >$ non ammette la base canonica per prima cosa.
Per seconda cosa esiste sempre una base ortogonale, ma non è detto che esista ortonormale.

[giulgiu1]

"anto_zoolander":No per entrambe le cose.

Prendi l’applicazionr definita da $((0,1),(-1,0))$. Com’è il suo polinomio caratteristico su $RR$?

Lo spazio $< (1,0,2) , (0,1,0) >$ non ammette la base canonica per prima cosa.
Per seconda cosa esiste sempre una base ortogonale, ma non è detto che esista ortonormale.

Il polinomio caratteristico è λ^2+1, quindi in questo caso non ha autovalori/autovettori, giusto?
Ma utilizzando Gram-Schmidt non si può costruire sempre una base ortonormale data una base iniziale?

[anto_zoolander]

Dipende come definisci base ortonormale

In genere una base ortogonale esiste, ma solitamente puoi normalizzare i vettori non isotropi se la forma bilineare simmetrica è semidefinita positiva.

[giulgiu1]

"anto_zoolander":Dipende come definisci base ortonormale

In genere una base ortogonale esiste, ma solitamente puoi normalizzare i vettori non isotropi se la forma bilineare simmetrica è semidefinita positiva.

Cavoli non ho capito niente di quello che hai scritto ahaha .
Io so che una base è ortonormale quando è formata da vettori ortogonali tra loro e la cui norma è uguale a 1