Teoria autovettori.

[svarosky90]

Salve. Ho una domanda di teoria che proprio non riesco a capire. Ho una matrice A tale che $A^2=0$ ovvero il quadrato di A rende la matrice nulla. La matrice A è diagonalizzabile? Se si come e con che tipo di autovalori?. Grazie in anticipo. Premetto che questo è un esercizio teorico a crocette. Le risposte davano come soluzione. 1)solo se A è la matrice nulla. 2) solo se A non è la matrice nulla. 3) A non è diagonalizzabile. Le altre due risposte non le ricordo (ERA UN ESAME) ma vorrei comunque capire grazie a chi mi risponderà...

[Gatto891]

Beh in un test a crocette puoi anche procedere per esclusione... la matrice nulla è diagonalizzabile (anzi, proprio diagonale!) e il suo quadrato è ovviamente se stessa, quindi puoi già scartare le risposte 2 e 3 (e statisticamente, già ti converrebbe dare la risposta con i punteggi che si adottano di solito ).

Per il resto c'è da ragionarci un minimo... se $A$ è diagonalizzabile, esiste una matrice diagonale $D$ tale che $A = M^(-1)DM$ e $D$ è della forma $((a, 0),(0, b))$; ora prova ad elevare $A$ al quadrato e vedi che succede... (suppongo che, anche se il testo non lo dice, la tua matrice sia a coefficenti in un campo... la risposta varierebbe se i coefficenti fossero in un anello non integro).

[misanino]

Supponiamo che la matrice $A$ abbia un autovalore $\lambda$ con relativo autovettore $v$, cioè $Av=\lambda v$.
Allora $0=0v=A^2v=A Av=A\lambda v=\lambda Av=\lambda\lambda v=\lambda^2v$
da cui ricavi che $\lambda=0$ e quindi gli autovalori di A sono tutti nulli

[svarosky90]

Si si ovviamente la mia matrici è a coefficienti nel campo $R$. Quindi la risposta esatta sarebbe se e solo se A è la matrice nulla...